Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

304
CAPÍTULO 37 Representación paramétrica de curvas
y
P(x, y)
r
x
Fig. 37.2
Supóngase que una curva se define mediante un par de ecuaciones paramétricas x = f(u) y y = g(u). Entonces,
la primera y la segunda derivada dy
dx y d 2
y
2
están dadas por las fórmulas siguientes:
dx
(37.1) Primera derivada
dy
dx
dy
= ⎛ ⎞
⎝ du ⎠
Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena dy
du
(37.2) Segunda derivada
2
dy
dx
2 =
⎛ d ⎛ dy⎞⎞
⎝
⎜ du ⎝ dx ⎠⎠
⎟
⎛ dx ⎞
⎝ du ⎠
dy dx
dx
du
.
Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena d dy
dy dx
du dx
2
dx
du
dx
du
2
.
Longitud de arco para una curva paramétrica
Si una curva está definida por ecuaciones paramétricas x = f(t) y y = g(t), entonces la longitud del arco de la
curva entre los puntos correspondientes a los valores parámetro t 1 y t 2 es
L =
∫
t2
t1
2 2
⎛ dx ⎞ dy
dt
⎝ dt ⎠ + ⎛ ⎞
⎝ dt ⎠
Esta fórmula puede comprobarse por un argumento semejante al de la fórmula de la longitud de arco
(29.2).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle dy
dx y d 2
y
2
dx
si x = t – sen t, y = 1 – cos t.
dx
= 1−cos t y dy = sen t. Por (37.1), dy sen t
=
dt
dt
dx 1 − cos t
. Entonces,
d dy t t t t
dt dx ( 1 cos )(cos ) (sen )(sen )
2
( 1 cos t)
2 2
cos t (cos t sen t)
cos t 1
2
( 1 cos t)
( 1 cos t)
2
1
cos t 1