Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 4 Círculos
22. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen radio 10 y son tangentes al círculo x 2 + y 2 = 25 en el
punto (3, 4).
Respuesta: (x – 9) 2 + (y – 12) 2 = 100 y (x + 3) 2 + (y + 4) 2 = 100
23. Halle las distancias máxima y mínima del punto (7, 12) al círculo x 2 + y 2 + 2x + 6y – 15 = 0.
Respuestas: 22 y 12
24. Sean 1 y 2 dos círculos que se interesecan y están determinados por las ecuaciones x 2 + y 2 + A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
y x 2 + y 2 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Para todo número k ≠ –1, muestra que
x 2 + y 2 + A 1 x + B 1 y + C 1 + k(x 2 + y 2 + A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0
es la ecuación de un círculo que pasa por los puntos de intersección 1 y 2 . Demuestra, recíprocamente, que
cada uno de los círculos puede representarse por una de tales ecuaciones para un k conveniente.
25. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por el punto (–3, 1) y que contiene los puntos de intersección
de los círculos x 2 + y 2 + 5x = 1 y x 2 + y 2 + y = 7.
2
2 3 569
Respuesta (usa el problema 24): ( x+
1) + ( y+
) =
10 100
26. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen centros en la recta 5x – 2y = –21 y son tangentes a
ambos ejes de coordenadas.
Respuestas: (x + 7) 2 + (y + 7) 2 = 49 y (x + 3) 2 + (y – 3) 2 = 9
27. a) Si dos círculos x 2 + y 2 + A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y x 2 + y 2 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 se cortan en dos puntos, halle una
ecuación de la recta que pasa por sus puntos de intersección.
b) Pruebe que si dos círculos se cortan en dos puntos, entonces la recta que pasa por sus puntos de
intersección es perpendicular a la recta que pasa por sus centros.
Respuestas: a) (A 1 – A 2 )x + (B 1 – B 2 )y + (C 1 – C 2 ) = 0
28. Halle los puntos de intersección de los círculos x 2 + y 2 + 8y – 64 = 0 y x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0.
Respuesta:
(8, 0) y
24
( ,
15 24 5 ).
29. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por (4, 10) y son tangentes al círculo x 2 + y 2 – 4y – 36 = 0.
Respuesta: y = –3x + 22 y x – 3y + 26 = 0.
30. (cg = calculadora graficadora). Utilice una graficadora para dibujar los círculos de los problemas 7(d), 10, 14,
y 15. (Nota: puede ser necesario resolver para y, es decir, despejar y.)
31. (CG) a) Utilice una graficadora para sombrear el interior del círculo con centro en el origen y radio 3.
b) Usa una graficadora para sombrear el exterior del círculo x 2 + (y – 2) 2 = 1.
32. (CG) Utilice una graficadora para representar las desigualdades siguientes:
a) (x – 1) 2 + y 2 < 4; b) x 2 + y 2 – 6x – 8y > 0.