Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
una ecuación r = c, donde c es una constante, determina el círculo con centro en el polo y radio |c|. Una ecuación
q = c designa la recta que pasa por el polo y que se obtiene al girar el eje polar c radianes. Por ejemplo, q
= p/2 es la recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar.
Coordenadas polares y rectangulares
Dados el polo y el eje polar, se establece un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje polar es el eje
x positivo y el eje y es perpendicular al eje x en el polo (fig. 41.3). Así, el polo se halla en el origen del sistema
rectangular. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (r, q), entonces,
Estas ecuaciones implican
x = r cos q y y = r sen q (41.1)
r = x 2 + y 2 y tan y x
(41.2)
y
P(x, y)
O
x
Fig. 41.3
EJEMPLO 41.2. Considérese la curva polar r = cos q. Al multiplicar por r se obtiene r 2 = r cos q. Por tanto, x 2
+ y 2 = x se cumple para las coordenadas rectangulares de los puntos sobre la curva. Ello equivale a x 2 – x + y 2 = 0, y
al completar el cuadrado respecto a x se obtiene ( x− 1 )
2 + y
2 =
1 . Por consiguiente, la curva es el círculo con centro
2 4
1
en ( 2 , 0 ) y radio 1 2. Nótese que cuando q varía de 0 a p/2, el semicírculo superior se traza de (1, 0) a (0, 0), y luego
cuando q varía de a p el semicírculo inferior se dibuja de (0, 0) de vuelta a (1, 0). Todo este trayecto se traza una
2
vez más cuando q varía de p a 2p. Como cos q tiene un periodo de 2p, se ha descrito completamente la curva.
EJEMPLO 41.3. Considérese la parábola y = x 2 . En coordenadas polares, se obtiene r sen q = r 2 cos 2 q y, por
consiguiente, r = tan q sec q, que es una ecuación polar de la parábola.
Algunas curvas polares típicas
a) Cardioide: r = 1 + sen q (fig. 41.4a).
b) Caracol: r = 1 + 2 cos q (fig. 41.4 b).
c) Rosa con tres pétalos: r = cos 3q (fig. 41.4c).
d) Lemniscata: r 2 = cos 2q (fig. 41.4d).
En un punto P sobre una curva polar, el ángulo y que va del radio vector OP a la tangente PT a la curva (fig.
41.5) se calcula con la fórmula:
d
tan
dρ
, donde ρ' =
(41.3)
d
'
dθ
Para ver una demostración de esta fórmula, véase el problema 1. La tangente y es muy importante en las
coordenadas polares, similar a la de la pendiente de la tangente en las coordenadas rectangulares.