Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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23. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes:
a) y 2 – x 2 = 1 b) 25x 2 + 36y 2 = 900 c) 2x 2 – y 2 = 4
d) xy = 4 e) 4x 2 + 4y 2 = 1 f) 8x = y 2
g) 10y = x 2 h) 4x 2 + 9y 2 = 16 i) xy = –1
j) 3y 2 – x 2 = 9
Respuestas: a) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices (0, 1), asíntotas y = x; b) elipse, vértices
(6, 0) focos ( ± 11, 0 ); c) hipérbola, eje x como eje transverso, vértices ( ± 2, 0 ),, asíntotas
y =± x 2 x; d) hipérbola, y = x como eje transverso, vértices (2, 2) y (–2, –2), ejes x y y como
asíntotas; e) círculo, centro (0, 0 ), radio 1 2; f) parábola, vértice (0, 0), foco (2, 0), directriz x
= –2; g) parábola, vértice (0, 0), foco ( 0, 5 2 ), directriz y =− 5 2
; h) elipse, vértices (2, 0), focos
( ± 2 3 50; , ) i) hipérbola, y = –x como eje transverso, vértices (–1, 1) y (1, –1), ejes x y y como
asíntotas; j) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices ( 0, ± 3)
, asíntotas y =± x 3x/ 3.
CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas
24. (cg) Utilice una graficadora para trazar las gráficas del problema 23.
25. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes:
a) 4x 2 – 3y 2 + 8x + 12y – 4 = 0 b) 5x 2 + y 2 – 20x + 6y + 25 = 0 c) x 2 – 6x – 4y + 5 = 0
d) 2x 2 + y 2 – 4x + 4y + 6 = 0 e) 3x 2 + 2y 2 + 12x – 4y + 15 = 0 f) (x – 1)(y + 2) = 1
g) xy – 3x – 2y + 5 = 0 [Sugerencia: compare con el inciso f)] h) 4x 2 + y 2 + 8x + 4y + 4 = 0
i) 2x 2 – 8x – y + 11 = 0 j) 25x 2 + 16y 2 – 100x – 32y – 284 = 0
Respuestas: a) gráfica vacía; b) elipse, centro en (2, –3); c) parábola, vértice en (3, –1); d) un solo punto
(1, –2); e) gráfica vacía; f) hipérbola, centro en (1, –2); g) hipérbola, centro en (2, 3); h) elipse,
centro en (–1, 2); i) parábola, vértice en (2, 3); j) elipse, centro en (2, 1).
26. (cg) Utilice una graficadora para trazar las gráficas del problema 25.
27. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de las parábolas siguientes:
a) 10x 2 = 3y b) 2y 2 = 3x c) 4y = x 2 + 4x + 8 d) 8y = –x 2
Respuestas: a) foco en ( 0, 40 3 ), directriz y =−40, 3 lado recto 10; 3
3
b) foco en ( 8 , 0 ), directriz x =−8, 3 lado recto 3;
2
c) foco en (–2, 2), directriz y = 0, lado recto 4; d) foco en (0, –2), directriz y = 2, lado recto 8.
28. Halle la ecuación para cada parábola que satisfaga estas condiciones:
a) Foco en (0, –3), directriz y = 3 b) Foco en (6, 0), directriz x = 2
c) Foco en (1, 4), directriz y = 0 d) Vértice en (1, 2), foco en (1, 4)
e) Vértice en (3, 0), directriz y = 0
f) Vértice en el origen, eje y como eje de simetría; contiene el punto (3, 18)
g) Vértice en (3, 5), eje de simetría paralelo al eje y; contiene el punto (5, 7)
h) Eje de simetría paralelo al eje x, contiene los puntos (0, 1), (3, 2), (1, 3)
i) Lado recto (latus rectum) es el segmento que une (2, 4) y (6, 4), contiene el punto (8, 1)
j) Contiene los puntos (1, 10) y (2, 4), el eje de simetría es vertical, el vértice está en la recta 4x – 3y = 6
Respuestas: a) 12y = –x 2 ; b) 8(x – 4) = y 2 ; c) 8(y – 2) = (x – 1) 2 ; d) 8(y – 2) = (x – 1) 2 ; e) 8(x – 3) = y 2 ; f) y =
2x 2 ; g) 2(y – 5) = (x – 3) 2 121
21
2
; h) 2( x − 40 ) =−5
y−10
2
21
2
bien, y − = 26 x − .
13
( 13 )
( ) ; i) 4(y – 5) = – (x – 4) 2 ; j) y – 2 = 2(x – 3) 2 o