Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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14. Describa la curva determinada por cada uno de los pares de ecuaciones siguientes, dados en coordenadas
esféricas.
a) r = 1, q = p; b)
, /6; c) r = 2,
.
4 4
Respuesta: a) círculo de radio 1 en el plano xz con centro en el origen; b) semirrecta en la intersección del
plano
y cono 4
/6; c) círculo de radio 2 en el plano z = 2 con el centro en el eje z.
15. Transforme cada una de las ecuaciones siguientes, sean coordenadas rectangulares, cilíndricas o esféricas, en
ecuaciones equivalentes en los otros dos sistemas de coordenadas: a) r = 5; b) z 2 = r 2 ; c) x 2 + y 2 + (z – 1) 2 = 1
CAPÍTULO 57 Integrales triples
Respuestas: a) x 2 + y 2 + z 2 = 25, r 2 + z 2 = 25; b) z 2 = x 2 + y 2 , cos 2 1 2
(es decir, /4 o 3/ 4 ); c) r 2 +
z 2 = 2z, r = 2 cos f
16. Calcule la integral triple de la izquierda en cada uno de los casos siguientes:
1
2
3
a) ∫ ∫ ∫ dz dx dy = 1
0 1 2
1 x xy
b) dz dy dx =
1
∫0
∫x2
∫0
24
6 12−2y
4−2y/ 3−x/ 3
12 6−
/ 2 4−2y/ 3−
/ 3
c)
∫ ∫ x dz dx dy = 144 ⎡
∫
=
x dz dy dx
0 0 0
⎩ ⎪
x
x
⎤
∫0
∫0
∫0
⎥⎦
/ 2 4 16z2
2 1
d) ( 16 ) / 2 256
0 0
r rzdrd
0
5
2
5
4
e) senddd 2500
0
0
0
17. Evalúe la integral del problema 16b) después de cambiar el orden dz dx dy.
18. Evalúe la integral del problema 16c), cambiando el orden dx dy dz a dy dz dx.
19. Encuentre los volúmenes siguientes utilizando integrales en coordenadas rectangulares:
a) En el interior de x 2 + y 2 = 9, por encima por z = 0
y por debajo por x + z = 4
Respuesta: 36p unidades cúbicas
b) Acotada por los planos de coordenadas y 6x + 4y + 3z = 12 Respuesta: 4 unidades cúbicas
c) En el interior de x 2 + y 2 = 4x, por encima por z = 0
y por debajo por x 2 + y 2 = 4z
Respuesta: 6p unidades cúbicas
20. Encuentre los volúmenes siguientes utilizando integrales triples en coordenadas cilíndricas:
a) El volumen del problema 4.
b) El volumen del problema 19c).
c) El volumen dentro de r 2 = 16, por encima por z = 0
y por debajo por 2z = y
Respuesta: c) 64/3 unidades cúbicas
21. Encuentre el centroide de cada uno de los volúmenes siguientes:
a) Bajo z 2 = xy y encima del triángulo y = x,
9
y = 0, x = 4 en el plano z = 0 Respuesta: (, , )
3 9 5 8