Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

409
F(x) = f(x, b + h) – f(x, b). Entonces, h = F(a + h) – F(a). Aplique el teorema del valor medio para obtener a *
entre a y a + h, de manera que F(a + h) – F(a) = F´(a * )h = [f x (a * , b + h) – f x (a * , b)]h, y aplique el teorema del
valor medio para obtener b * entre b y b + h de manera que f x (a * , b + h) – f x (a * , b) = f xy (a * , b * )h. Entonces,
Δ
2
h
h fxy
( a * , b
*
h
* *
) y lím
2
= lím f ( , ) = (
h
( *, * xy
a b fxy
a, b)
→0
h a b ) →( a, b)
Por un argumento semejante utilizando h = (f(a + h, b + h) – f(a, b + h)) – (f(a + h, b) – f(a, b)) y el teorema
del valor medio, se obtiene
h
lím
2
fyx
( a, b)
h0
h
CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
31. Demuestre que el teorema (48.1) ya no se cumple si se elimina el supuesto de continuidad para f xy y f yx . Use la
función siguiente:
f ( x, y)
2 2
xy( x y )
2 2
si ( xy , ) ( 0, 0)
x y
0
si ( xy , ) ( 0, 0)
[Halle las fórmulas para f x (x, y) y f y (x, y) para (x, y) ≠ (0, 0); evalúe f x (0, 0) y f y (0, 0) y luego f xy (0, 0) y f yx (0, 0).]