Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

81
Derivadas superiores
Si y = f (x) es diferenciable, su derivada y también se denomina primera derivada de f. Si y es diferenciable,
su derivada se llama segunda derivada de f. Si esta segunda derivada es diferenciable, entonces su derivada se
denomina tercera derivada de f, y así sucesivamente.
Notación
Primera derivada y, f( x), dy
, Dy
dx x
Segunda derivada y, f( x), 2
dy 2
2 , Dy
dx x
Tercera derivada y, f( x), 3
dy 3
3 , Dy
dx x
n-ésima derivada
( n) y ,
( n)
f (x),
n
dy n
n , Dy
x
dx
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Demuestre el teorema 10.1 (1 a 3): 1. d dx ()= c 0; 2. d dx ( x)=
1; 3. d dx
Recuerde que d dx f x f x x f x
( ) lím ( + Δ ) −
=
( )
Δx→0
Δx
1.
d
dx c = lím
c− c = lím =
Δx→
Δx
0 0
0 Δx→0 2.
d
dx x x x x
( ) lím ( + Δ ) −
=
= lím
Δx
= lím 1=
1
Δx→0 Δx
Δx→0
Δx
Δx→0
3.
d
dx cu cu x x cu x
( ) lím ( + Δ ) −
=
( ) lím c ux ( + Δx) −u( x)
=
Δx→0 Δx
Δx→0
Δx
ux ( + Δx)
−ux
( )
= c lím
=
Δx→0
Δx
c du
dx
2. Demuestre el teorema 10.1 (4, 6 y 7):
4.
d
(
dx u + v + …)
=
du
+
dv
+ …
dx dx
6.
d
( = +
dx u v)
ud v
v
du
dx dx
7.
d u
v
du
u d v
dx dx
dx ( v ) = −
v
siempre que v ≠
2
0
( cu)= c
du .
dx
4. Basta probar esto sólo para dos sumandos, u y v. Sea f (x) = u + v; entonces,
f( xx) f( x) ux ( x) v( xx) ux ( ) v( x)
x
x
ux ( x) ux
( ) v( xx) v( x)
x
x
Al tomar el límite cuando x 0 se obtiene
dx d ( u + v)
=
du
+
dv .
dx dx
6. Sea f (x) = uv. Entonces,
f( xx) f( x) ux ( x) v( xx) ux ( ) v( x)
x
x
[ u( xx) v( xx) v( x) u( xx)] [ v( x) u( xx) u(
x)()]
v x
x
v( xx) v( x)
ux
( x)
( x)
ux (
v
x ) ux ( )
x
x