Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 8 Continuidad
Teorema 8.5. Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a, b] y f (a) ≠ f (b), entonces, para todo número
c entre f (a) y f (b), existe por lo menos un número x 0 en el intervalo abierto (a, b) para el cual f (x 0 ) = c.
La figura 8.4a) es una ilustración del teorema 8.5, ya que en ella se muestra que la continuidad a lo largo
del intervalo es esencial para la validez del teorema. El resultado siguiente es un caso especial del teorema del
valor intermedio.
y
y
f(b)
c
f(a)
O
a
x 0
b
x
a
O
b
a)
Fig. 8.4
b) f(x) = 0 tiene tres raíces
entre x = a y x = b
y
y
f (b)
c
f (a)
a
O
b
O
x
a) b) f(x) = 0 no tiene raíz
entre x = a y x = b
Fig. 8.5
Corolario 8.6. Si f es continua en [a, b] y f (b) tiene signos opuestos, entonces la ecuación f (x) = 0 tiene al menos
una raíz en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, la gráfica de f corta el eje x por lo menos una sola vez entre
a y b (fig. 8.4b)).
Teorema 8.7. Teorema del valor extremo.
máximo M en el intervalo.
Si f es continua en [a, b], entonces f toma un valor mínimo m y un valor
Como ilustración del teorema del valor extremo observa la figura 8.6a), donde el valor mínimo m ocurre en
x = c y el valor máximo M en x = d. En este caso, tanto c como b están dentro del intervalo. Por otra parte,
en la figura 8.6b) el valor mínimo m ocurre en el punto extremo x = a y el valor máximo M dentro del intervalo.
Para comprobar que la continuidad es necesaria para que el teorema del valor extremo sea verdadero, considere
la función cuya gráfica se presenta en la figura 8.6c). Existe discontinuidad en c dentro del intervalo; la función
tiene un valor mínimo en el punto extremo izquierdo x = a, pero la función no tiene valor máximo.