Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

146
CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonométricas
10. Sea y = tan 2 (3x – 2). Halle y.
y = 2 tan (3x – 2) sec 2 (3x – 2) 3 = 6 tan (3x – 2) sec 2 (3x – 2)
y = 6[tan (3x – 2) 2 sec (3x – 2) sec (3x – 2) tan (3x – 2) 3 + sec 2 (3x – 2)sec 2 (3x – 2) 3]
= 36 tan 2 (3x – 2) sec 2 (3x – 2) + 18 sec 4 (3x – 2)
11. Sea y = sen(x + y). Halle y.
Al despejar y
y = cos (x + y) (1 + y) = cos (x + y) + cos (x + y) (y).
cos( x
y)
y
1cos( x
y)
12. Sea sen y + cos x = 1. Halle y.
cos y⋅ y′ − sen x=
0.
Entonces y′=
sen x
cos y
cos ycos
x−
sen x( −sen y)
⋅y′ cos xcos
y+ sen x sen y ⋅ y′
y′′=
2 =
cos y
cos 2
y
2 2
cos xcos y+
sen x sen y (sen x)/(cos y) cos x cos y+
sen xsen
y
=
2
=
3
cos y
cos y
13. Un piloto se dirige a un sitio en la Tierra frente a él. Si el avión, a 2 millas de altura, vuela a 240 millas/hora
(mi/h), ¿cuán rápido debe girar el visor cuando el ángulo entre la trayectoria del avión y la línea de la visual es
de 30°? (Fig. 17.12.)
dx
240mi/h y x 2cot
dt
De la última ecuación, dx
dt
2cosec 2
d . Así, 240 2( 4) dt
d cuando = 30°
dt
d
30 rad/h = 3 grados /s
dt
2
240 mi/h
2
x
Fig. 17.12
14. Trace la gráfica de f(x) = sen x + cos x.
f(x) tiene un periodo de 2p. Por tanto, se debe considerar sólo el intervalo [0, 2]. f (x) = cos x – sen x, y
f (x) = –(sen x + cos x). Los números críticos ocurren donde cos x = sen x o tan x = 1, x = /4 o x = 5/4.
f ( / 4) ( 2/ 2 2/
2)
2 0. Entonces, existe un máximo relativo en, x = π /4, y = 2.
f ( 5 / 4) ( 2/ 2 2/ 2)
2 0. Es decir, se presenta un mínimo relativo en x = 5π / 4, y =− 2.
Los puntos de inflexión ocurren cuando f(x) = –(sen x + cos x) = 0, sen x = –cos x, tan x = –1, x = 3/4 o
x = 7/4, y = 0 (fig. 17.13).
2
1
π
4
3π
4
5π
4
7π
4
2π
– 2
Fig. 17.13