Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
13. Dados a = ui + u 2 j + u 3 k, b = i cos u + j sen u, y c = 3u 2 i – 4uk, calcule primero a · b, a b, a · (b c), y a
(b c), y luego encuentre la derivada de cada uno. En seguida halle las derivadas utilizando las fórmulas.
14. Una partícula se mueve a lo largo de la curva x = 3t 2 , y = t 2 – 2t, z = t 3 , donde t es el tiempo. Determine a)
las magnitudes de su velocidad y su aceleración en el instantes t = 1; b) las componentes de la velocidad y la
aceleración en el instante t = 1 en la dirección a = 4i – 2j + 4k.
Respuestas: a) v = 3 5 , a = 2 19 ; b) 6, 22 3
15. Por medio de métodos vectoriales, encuentre las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a las
curvas del problema 15 del capítulo 51.
16. Resuelva el problema 16 del capítulo 51 empleando métodos vectoriales.
17. Demuestre que las superficies x = u, y = 5u – 3v 2 , z = v y x = u, y = v, z = uv son perpendiculares en P(1, 2, 1).
4u−v
18. Use métodos vectoriales y encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
a) x = u, y = v, z = uv en el punto (u, v) = (3, –4).
b) x = u, y = v, z = u 2 – v 2 en el punto (u, v) = (2, 1).
Respuestas: a) 4X – 3Y + Z – 12 = 0, X − 3
=
Y + 4 = Z + 12
−4
3 −1 ;
b) 4X – 2Y – Z – 3 = 0, X − 2
=
Y − 1 = Z − 3
−4
2 1 .
19. a) Encuentre las ecuaciones de los planos osculador y rectificante a la curva del problema 2 en el punto dado.
b) Halle las ecuaciones de los planos normal, osculador y rectificante de x = 2t – t 2 , y = t 2 , z = 2t + t 2 en t = 1.
Respuestas: a) 3X – 3Y + Z – 1 = 0, 11X + 8Y – 9Z – 10 = 0;
b) X + 2Y – z = 0, Y + 2Z – 7 = 0, 5X – 2Y + Z – 6 = 0
20. Demuestre que la ecuación del plano osculador a una curva en el espacio en P está dada por
( ) =
( R− r)
. r 2
d
×
d r
dt dt
2
0
21. Resuelva los problemas 16 y 17 del capítulo 52 utilizando métodos vectoriales.
b
22. Halle F( u)
du, dado
a
a) F(u) = u 3 i + (3u 2 – 2u)j + 3k; a = 0, b = 2; b) F(u) = e u i + e –2u j + uk; a = 0, b = 1
Respuestas: a) 4i + 4j + 6k; b)
1
2 ( 1 −2
− ) +
1
( e − 1)i + e j k
2
23. La aceleración de una partícula en el instante t está dada por a = dv/dt = (t + 1)i + t 2 j + (t 2 – 2)k. Si en t = 0, el
desplazamiento es r = 0 y la velocidad es v = i – k. Halle v y r en el instante t.
Respuesta: v = ( 1 2 t 2 + t + 1)i + 1 3 t 3 j + ( 1 3 t3 − 2t − 1)k; r = ( 1 6 t3 + 1 2 t 2 + t)i + 1
12 t 4 j + ( 1
12 t 4 − t 2 − t)k