Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Así, lím S
n
n
lím 1 1
n
n 1
1 0 1. En estas condiciones, la serie converge y su suma es 1.
3. Se sabe que la serie geométrica 1 1 1 1 1
+ 2 + 4 + 8 + 16 +⋅⋅⋅ converge a S = 2. Analice la serie resultante cuando a)
sus primeros términos se suprimen; b) los términos 3, 2 y 5 se agregan al comienzo de la serie.
a) La serie resultante es una serie geométrica 16
1 1
+ 32 +⋅⋅⋅ con razón 1 2. Converge a
116 /
=
116 /
=
1
.
1 1 1 15 1
1−
( 1/
2)
12 / 8
Observe que esto es lo mismo que S − ( 1+ 2 + 4 + 8 ) = 2− ( 8 ) = 8 .
b) La nueva serie es 3 2 5 1 1 1 1 1
+ + + + 2 + 4 + 8 + 16 +⋅⋅⋅. Las nuevas sumas parciales son las antiguas más (3 + 2
+ 5). Como las sumas parciales antiguas convergen a 2, las nuevas convergen a 2 + 10 = 12. Entonces, la
nueva serie resulta convergente y su suma es 12.
CAPÍTULO 43 Series infinitas
4. Demuestre que la serie 1 3 7 15
2 + 4 + 8 + 16 +⋅⋅⋅ diverge.
n
Aquí, s n
=
2 − 1
n = 1 −
1
n
. Como lim
1
n
0, resulta que lim
2 2 n
2
n
divergencia, la serie diverge.
sn
1010. Así, por el teorema de
64 256
5. Analice la serie 9 12 16 3 9 para hallar la convergencia.
Ésta es una serie geométrica con razón r =− 4 4
3. Como | r | = 3 > 1, el teorema 43.1b) indica que la serie
diverge.
( )
6. Evalúe 1 n
1 1
1
1
1
n
.
2 2 4 8 16
n0
Ésta es una serie geométrica con razón r =− 1 2
y el primer término es a = 1. Como | r | = 1 < 2 1 , la serie
converge y su suma es
a 9/10 1 2
1− r
= = = .
1−( −1/ 2)
32 / 3
7. Demuestre que el decimal infinito 0.999 es igual a 1.
0. 999
9
9
9
. Ésta es una serie geométrica con el primer término a = 10
10 100 1000
9 y razón r = 1
Por tanto, converge a la suma
a 910 910
1
1− r
= /
=
/
= .
1−
( 1/
10)
910 /
8. Analice la serie
1
1
1
1
.
13 35 5 7 7 9
Aquí, s = 1
n ( 2n
− 1)( 2n
+ 1) . Observe que 1
=
1 1 1
( 2n− 1)( 2n+
1)
2 ( 2n− 1
− 2n+
1). Por tanto, la n–ésima suma
parcial S n es
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1
1
2 1 2 1 1
n
2n
1
S n
n
Entonces, lím
1 2. Luego, la serie converge a 1 2.
3 4
9. Analice la serie 3+ 3 + 3 + 3 +⋅⋅⋅.
s
n
n n n
= 3 = 3 1/ = e
(ln 3)/
. Luego, lím s
10. Analice la serie 1
10
1
11
n n
+ + + +⋅⋅⋅.
1
12
1
13
0
e
1
0 Por el teorema de divergencia, la serie diverge.
Esta serie se obtiene de la serie armónica al borrar los primeros nueve términos. Como la serie armónica
diverge, entonces este serie también lo hace.
11. (Paradoja de Zenón) Aquiles (A) y una tortuga (T) tienen una carrera. T arranca 1000 pies adelante, pero A
corre a 10 pies/s, mientras que T sólo a 0.01 pies/s. Cuando A alcanza el punto de partida de T, T ha avanzado
una distancia corta, etcétera. Zenón decía que A nunca alcanzaría a T. Demuestre que sí lo hará.
Cuando A llega al punto de partida de T han pasado 100 segundos y T se ha movido 0.01(100) = 1 pie. A
recorre ese pie adicional en 0.1 segundos, pero T se ha movido 0.01(0.1) = 0.001 pies más. A necesita 0.0001
10.