Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonométricas
Las gráficas de y = sen x y y = cos x constan de ondas repetidas, y cada una de ellas se extiende por un intervalo
de longitud 2. La longitud (periodo) y la altura (amplitud) de las ondas pueden cambiarse al multiplicar
el argumento y el valor, respectivamente, por constantes.
EJEMPLO 17.1. Sea y = cos 3x. La gráfica se muestra en la figura 17.4. Como cos 3(x + 2/3) = cos (3x + 2)
= cos 3x, la función es de periodo p = 2/3. Por tanto, la longitud de cada onda es 2/3. El número de ondas sobre
un intervalo de longitud 2 (correspondiente a una rotación completa del rayo que determina el ángulo x) es 3. Este
número se denomina la frecuencia f de cos 3x. En general, pf = (longitud de cada onda) (número de ondas en un
intervalo de 2) = 2. Por ende, f = 2/p.
1
2π
–
3
–
π
2
–
π
–
π 0 π
3 6 6
–1
π
3
π
2
2π
3
5π
6
4π
3
2π
Fig. 17.4
Para toda b > 0, las funciones sen bx y cos bx tienen una frecuencia b y un periodo 2/b.
EJEMPLO 17.2. y = 2 sen x. La gráfica de esta función (fig. 17.5) se obtiene de la de y = sen x al duplicar los
valores de y. El periodo y la frecuencia son similares a los de y = sen x, es decir, p = 2 y f = 1. La amplitud, es decir,
la altura máxima de cada onda, es 2.
2
1
3π
–
3
− π
–
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
–1
–2
Fig. 17.5
EJEMPLO 17.3 En general, si b > 0, entonces y = A sen bx y y = A cos bx tienen periodo 2/b, frecuencia b y
amplitud |A|. En la figura 17.6 se presenta la gráfica de y = 1.5 sen 4x.