Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
Advertencia: nótese el doble significado de z, x y y en (49.6). En dz , z significa f (g(t), h(t)), en tanto que
dt
en z
x y z
y , z significa f (x, y). En z
dx
, x es una variable independiente, mientras que en , x significa g(t). De
x dt
igual forma, y tiene dos significados.
Para demostrar (49.6) observe primero que, por (49.4),
Entonces,
Si t 0, se obtiene
z z
Δz
= ∂ Δ x + ∂ Δy+ ∈1 Δx+
∈2
Δy
∂x
∂y
Δ z z x z y x y
= ∂ Δ + ∂ Δ + ∈
Δ + ∈
Δ
Δt
∂x
Δt
∂y
Δt
Δt
Δt
1 2
.
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
z dx
0( x) 0( y) z
x
dt y
dy
dt
(Nótese que g y h son diferenciables y por ello continuas. Por consiguiente, como t 0, x 0 y y 0
y, por tanto, 1 0 y 2 0.)
EJEMPLO 49.4. Sea z = xy + sen x y sea x = t 2 y y = cos t. Observe que z
y
x
cos x y z
y
y dy =−sen t . Ahora, como función de t, z = t
dt
2 cos t + sen (t 2 ).
Por la fórmula (49.6),
dz
dt
2
= ( y+ cos x) 2t + x( − sen t) = (cost + cos( t )) 2t −t
2
sent
x . Además, dx
dt
= 2 t
En este ejemplo en particular, puede comprobar el resultado calculando D t (t 2 cos t + sen (t 2 )).
La regla de la cadena (2 2)
Sea z = f (x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t, s) y y = h(t, s), donde g y h son funciones diferenciables.
Entonces, z = f (g(t, s), h(t, s)) es una función diferenciable y
z
z
t x
x
z
t y
y
t
y
z
z
s x
x
z
s y
y
s
(49.7)
Aquí, como en la regla de la cadena anterior, los símbolos z, x y y tienen dos significados obvios.
Esta regla de la cadena puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena (2 1). Por ejemplo,
la derivada parcial z
puede considerarse una derivada ordinaria
dz
, porque s se trata como una constante. Por
t dt
consiguiente, la fórmula para z
t en (49.7) es la misma fórmula para z
en (49.6).
t EJEMPLO 49.5. Sea z = e x sen y y x = ts 2 y y = t + 2s. Ahora, z
x
e x
sen y, x
t
s 2 , z
y
e x
cos y y y
t
1 . Por
tanto, por (49.7)
z
(e
t
x sen y)s 2 (e x cos y) e x (s 2 ts
sen y cos y) e
2 ( s 2 sen( t 2 s) cos ( t 2 s))
De igual forma,
z
s
ts 2
2(e x sen y)ts 2(e x cos y) 2e x (ts sen y cos y) 2e ( tssen( t 2s) cos ( t 2s))