Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 23 La integral definida. Área bajo una curva
2. Considere una función f que, entre a y b, asume tanto valores positivos como negativos. Por ejemplo, sea su
b
gráfica como la de la figura 23.6. Entonces, f( x)
dx es la diferencia entre la suma de las áreas por encima
a
del eje x y por debajo de la gráfica y entre la suma de las áreas debajo del eje x y por encima de la gráfica. En
el caso de la gráfica mostrada en la figura 23.6,
y
b
∫a
1 3 5 2 4
f( x) dx= ( A + A + A ) − ( A + A )
a
A 1 A 3 A 5
c 1 A 2 c 2
c 3 A 4
c 4
b
Fig. 23.6
Para comprobarlo, aplique (7) y el problema 1:
b
a
c
f( x) dx 1
2
3
4
f( x) dx f( x) dx f( x) dx
f(
x) dx f ( x)
dx A A A A A
a
c
c
c
c
c
1
2
c3
3. Sean f y g integrables en [a, b]. Demuestre lo siguiente:
a) Si f(x) 0 en [a, b], entonces f( x) dx
0.
b) Si f(x) g(x) en [a, b], entonces f x dx
b
a
b
a
( ) g( x)
dx .
c) Si m f(x) M para toda x en [a, b], entonces m( ba) f( x) dx Mb ( a)
.
a
n
a) Como toda suma de aproximación f( x * k)
kx
0, resulta que
k1
b
b
a
f( x) dx
0
b
a
b
b
c4
1 2 3 4 5
b) g(x) – f(x) 0 en [a, b]. Entonces, por a),
( gx ( ) f( x))
dx0 . Por (6), g( x) dx f ( x)
dx 0 . Por
a
a
a
consiguiente,
b
b
b
b
a
f ( x) dx g( x)
dx
c) Por b), mdx
f(x)dx M dx
a
. Pero por (2) y (3) mdx= m dx= mb−a
a
a
a
a
b
b
∫ Mdx= M∫
1 dx= Mb ( −a). En consecuencia,
a
1
a
b
mb ( a) f( x) dx Mb ( a)
a
b
a
b
b
∫ ∫ 1 ( ) y
2
4. Evalúe x dx.
0
Ésta es el área bajo la parábola y = x 2 desde x = 0 hasta x = 1. Divida [0, 1] en n subintervalos iguales.
Luego, cada k x = 1/n, en el k-ésimo subintervalo k 1 ,
k sea
*
n n
xk el extremo derecho k/n. Por consiguiente,
la suma de aproximación (1) es
n
n
n
*
f( x x
k
k) k
1
k .
n n 1 2
3
n
k1
k1
k1
Ahora,
2 nn ( + 1)( 2n+
1) ∑ k =
(revise el problema 12). Por tanto,
6
k=
1
2
n
b
b