Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
10. Indique toda cúspide, donde y tiende a + desde ambos lados o donde y se aproxima a – desde
ambos lados. Un ejemplo es el origen de la gráfica y = x .
11. Halle toda asíntota oblicua y = mx + b tal que lím( f( x) ( mxb))
0 o lím( f( x) ( mxb))
0. Una
x
x
asíntota oblicua es la que no es vertical ni horizontal.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3x 4 – 10x 3 – 12x 2 + 12x – 7.
Se tiene que
y = 12x 3 – 30x 2 – 24x + 12
y = 36x 2 – 60x – 24 = 12(3x + 1)(x – 2)
Sea y = 0 y se resuelve para obtener los posibles puntos de inflexión posibles x = – 1 3 y 2. Entonces:
Cuando x 2
y = +, y el arco es cóncavo hacia arriba.
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Los puntos de inflexión son ( − 3 , − 27 ) y (2, –63), ya que y cambia de signo en x = – 1 3 y x = 2 (fig. 15.4).
y
x
(–1/3, –322/27)
(2, –63)
Fig. 15.4
2. Analice la concavidad y los puntos de inflexión de y = x 4 – 6x + 2 y trace la gráfica.
Se tiene que y = 12x 2 . Por el teorema 15.2, el posible punto de inflexión está en x = 0. En los intervalos x
< 0 y x > 0, y es positiva, y los arcos en ambos lados de x = 0 son cóncavos hacia arriba. El punto (0, 2) no es
un punto de inflexión. Sea y = 4x 3 3
– 6 = 0, y se halla el número crítico x = 32 / . En este punto y = 12x 2 > 0
y se tiene un mínimo relativo por el criterio de la segunda derivada. Como existe sólo un número crítico, hay
un mínimo absoluto en este punto (donde x 1.45 y y –3.15 (fig. 15.5).
y
(0, 2)
O
Fig. 15.5