Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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4. Las coordenadas (x, y) en pies de una partícula móvil P están dadas por x = cos t – 1 y y = 2 sen t + 1, donde t
es el tiempo en segundos. ¿A qué velocidad se mueve P a lo largo de la curva cuando a) t = 5/6, b) t = 5/3,
c) P se desplaza a su velocidad máxima y a su velocidad mínima?
a) Cuando t 5 6
ds
dt
dx
dt
= ( ) + ⎛ ⎝
dy⎞
dt ⎠
2 2
ds
dt 13
3 4 13
2 pies/s .
2 2 2
= sen t + 4cos t = 1+
3cos t
CAPÍTULO 38 Curvatura
b) Cuando t 5 ds
3 dt 1 3 1 7
4 2 pies/s .
c) Sea S
ds
2
= = 1+
3cos
t . Entonces,
dt
dS = −3cos t sen t
. Al despejar dS = 0
dt S
dt
se tienen los números críticos
t = 0, /2, y 3/2.
ds
dt
Cuando t = 0 y , la velocidad ds
dt =
= 1 + 3(0) = 1 pies/s es mínima. La curva se muestra en la figura 38.4.
y
t 1 2
1 + 3(1) = 2 p pies/s es máxima. Cuando t = /2 y 3/2, la velocidad
t 5 6
t
t 0
t 5 3
O
x
t 3 2
Fig. 38.4
5. Determine la curvatura de la parábola y 2 = 12x en los puntos: a) (3, 6); b) ( 3 4, –3); c) (0, 0).
dy
dx
2
= 6 ; entonces, 1+ ⎛ dy ⎞
1
36
2
y
⎝ dx ⎠ = + y
a) En (3, 6): 1+ ⎛ dy ⎞
2
⎝ dx ⎠ =
2
y
dy 1
2
dx
=− 6
, entonces, K = − 16 /
2
=−
32 /
b) En ( 3
, 3)
2
2
− d y
4 : 1 +
⎛ ⎞ dy
= 5 y
4
2
⎝ d x⎠
d x
= 3
, entonces, K = 43 /
5
= 4 5
32 /
75
c) En (0, 0), dy
2
no está definida. Pero
dx y
= = 0, 1+ ⎛ d x⎞
= 1 ,
dx dy 6 ⎝ d y
dx 2
2
⎠ dy
2
y dy 2
dy
2
=−
6
2
=−
36
3
dx y dx y
2
24
.
.
=
1
y K =−
6
1 6 .
6. Encuentre la curvatura de la cicloide x = – sen y y = 1 – cos en el punto más alto de un arco (fig. 38.5).
y
O
0
2
2
x
Fig. 38.5