Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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2
Por definición de la tangente inversa, –/2 < < /2. Así, cos > 0 y, por tanto, sec > 0. Luego, sec |sec |
4
x / 2.
Por ende,
Ahora debe evaluarse sen .
Método analítico:
∫
x
dx
4 + x
2 2
sen
tan
sec
=
=
∫
1
4
2
2sec
θ dθ
2
4tan θ( 2sec θ)
secθ
dθ
cosθ
dθ
2
= ∫ 2
=
tan
θ 4 sen θ
1
∫
1
4
1
4
−
= ( −(sen θ) ) + C =− + C
4senθ
x/
2
x
4
x / 2 4
x
1 1
2 2 .
∫
−2
(sen θ)
cosθ dθ
Método geométrico: traza el triángulo rectángulo que aparece en la figura 32.1. Con base en él observe que
sen x/ 4
x 2
. (Nótese que también se cumple para < 0.)
Por tanto,
∫
x
dx
4 + x
2 2
=−
4 x 2
4 + x
4x
2
+ C
x
CAPÍTULO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos
2
Fig. 32.1
Este ejemplo ilustra la regla general siguiente:
2 2
Estrategia I. Si a + x se presenta en un integrado, pruebe a usar la sustitución x = a tan .
EJEMPLO 32.12. Halle
dx
.
2 2
x 9 x
Sea x = 3 sen , es decir, = sen –1 (x/3). Entonces, dx = 3 cos d y
2 2
2 2
9 x 9
9sen
3 sen 3 cos 3|cos |
2
Por definición de la inversa de seno, –/2 < < /2 y, por consiguiente, cos > 0. Así, cos |cos |
9
x / 3.
Ahora,
dx
9 x
2 2
x
3cos d
1
9 sen 2 (3 cos )
9
cosec 2 d
1
cot C
1 cos
C
1
9
9 sen
9
2
9
x / 3
C
1
x/ 3
99
x
x
9
2
C
Este ejemplo ilustra el método general siguiente:
2 2
Estrategia II. Si a − x se presenta en un integrado, pruebe usar la sustitución x = a sen .
2
x
EJEMPLO 32.13. Resuelva dx
2
.
x 4