Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 38 Curvatura
Para construir el círculo de curvatura, en el lado cóncavo de la curva se traza la línea normal al punto P y en
él se tiende un segmento PC de longitud R. El punto C es el centro del círculo requerido.
El centro de curvatura
El centro de curvatura para un punto P(x, y) de una curva es el centro C del círculo de curvatura P. Las coordenadas
(, ) del centro de curvatura se obtienen con
x
dy
dx
2
dy
1
dy
dx
1
dx
2 2
y
2 2
dydx /
dydx /
2
o por
2
2
dx
dx dx
1
dy
dy 1
x
y
dy
2 2
2 2
dxdy /
dxdy /
En el problema 9 se brindan más detalles.
La evoluta
La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva dada (problemas 11 y
12).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Encuentre ds
dx en P(x, y) en la parábola y = 3x2 .
ds
dx
2. Determine ds
dx y ds
dy en P(x, y) en la elipse x2 + 4y 2 = 8.
Como 2x+ 8y dy = 0 , dy
dx dx
=−
x
y dx
4 y dy
2
dy
= 1+ ⎛ ⎞
= 1+ ( 6x) = 1+
36x
⎝ dx ⎠
2 2
y
=− 4 . Entonces,
x
2
2 16
1+ ⎛ dy ⎞
1 16
2
2
⎝ ⎠ = + x
= x + y
dx y 16y
2 2
2
=
32 − 3x
32 − 4x 2 y
ds
dx
=
32 − 3x
32 − 4x
2
2
2 2
2 2
16 16 2 3
1+ ⎛ dx ⎞
1
2
2
2
⎝ ⎠ = + y
= x + y
= + y
dy x x 2 − y
2
y
ds
dy
=
2+
3y
2
2 − y
2
3. Halle ds en P(x, y) en la curva x = sec y y = tan .
d
ds dx dy
d d
d
2 2
2 2 4
2 2
sec tan sec |sec | tan sec