Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
+∞
n
∑ n
n=
0
n
n
= ∑ k n−k
k=
0
Teorema 47.4. Si f ( x)=
a x para |x| < R 1 y g( x)=
< mínimo (R 1 , R 2 ), donde c a b
.
+∞
∑
n=
0
n
bx n
para |x| < R 2 , entonces f ( xgx ) ( )=
+∞
∑
n=
0
n
cx n
para |x|
Puede consultar una demostración en una obra más avanzada. El teorema 47.4 garantiza que si f y g tienen extensiones
de series de potencias, entonces también las tiene su producto.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Encuentre una extensión de serie de potencias en torno a 0 para cos x.
Se sabe por el ejemplo 47.5 que
+∞ k
( − ) k+
sen x =
x x
x x x
∑ 1
3 5 7
2 1
= − + − +⋅⋅⋅ para todo x.
( 2k
+ 1)! 3! 5!
7!
k=
0
Entonces, por el teorema (46.7), es posible derivar término a término:
+∞ k
( − ) k
cos x = x
x x x
∑ 1
2 4 6
2
= 1 − + − +⋅⋅ ⋅ para todo x.
( 2k)! 2! 4! 6!
k=
0
2. Encuentre una serie de potencias en torno a para sen x.
2
Use la identidad de sen x= cos ( x−
π
2 ). En consecuencia, por el problema 1,
sen x =
3. Sea f(x) = tan –1 x. Evalúe f (38) (0).
Se sabe por la fórmula (46.12) que
+∞ k
2k
2
( −1)
x−
π
x x
( k)! ( ) = 1 −
1
−
π
2 2 2! ( 2) + 1
4!
−
4
π
∑
( 2 ) − ⋅⋅⋅
k=0
2n1
1
n
tan ( )
1 3 1 5 1
x 1
x
7
x 2 n 1 3 x 5 x 7 x para |x| < 1
n0
Por tanto, por el teorema (47.1), el coeficiente de x 38 en esta serie de potencias es igual a f ( 38 ) ( 0)
. Pero el
coeficiente de x 38 es 0. Entonces, f (38) (0) = 0.
( 38)!
4. Halle las extensiones de la serie de potencias en torno a 0 para las funciones siguientes:
a) cos(x 2 ) b) xe -2x 3
c) 1/ 1+ x
+∞ k
a)
( − ) k
cos x = ∑ 1
+∞ k
2 2 ( −1)
4k
x por el problema 1. Por ende, cos( x ) = x
( 2k)!
∑ .
( 2k)!
k=
0
k=
0
+∞
k
k k
x
b) Se sabe que e =
x
2x
( 1)
2 k
∑ . Entonces, e x
k ! . Por tanto,
k!
k=
0
xe
2x
c) Esta es la serie binomial para r =− 1 3.
k0
k0
k
k
n
n
( 1)
2 k1
( 1)
2
x
k!
( n 1)!
n1
1 1
x n
3
1 1 1
1 ( 13 / 43 / 2 13 / 43 /
/ + = − + − )( − ) (
x x x + − )( − )(−73
/ )
x
3 2!
3!
(
+ − 13 / )( − 43 / )( − 73 / )( − 103 / ) 4
x +⋅⋅⋅⋅
4!
= 1 +
+∞
∑
n=
1
n
( −1) ( 1⋅4⋅7⋅⋅⋅( 3n
−2))
n
n
x
3 n!
3