Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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22. Demuestre que las áreas de las regiones siguientes son infinitas:
a) Por encima del eje x, bajo y =
1 desde x = –2 hasta x = 2.
4 −
2
x
b) Por encima del eje x, bajo xy = 9 y a la derecha de x = 1.
23. Demuestre que el área de la región en el primer cuadrante bajo y = e –2x es 1 , y que el volumen generado al girar
2
dicha región en torno al eje x es 4 .
24. Establezca la longitud de arco indicado: a) 9y 2 = x(3 – x) 2 , una onda; b) x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 , toda la longitud;
c) 9y 2 = x 2 (2x + 3), una onda.
Respuestas: a) 4 3 unidades; b) 6a unidades; c) 2 3 unidades
CAPÍTULO 35 Integrales impropias
b
25. Demuestre que dx
converge para p < 1 y diverge hacia + para p 1.
a ( x
b)
p
26. Sea 0 f(x) g(x) para a x < b. Considere que lím f( x)
y lím gx ( ) (fig. 35.3). No es difícil
xb
xb
b
b
b
demostrar que si gxdx ( ) converge, entonces f( x)
dx
a
también lo hace y, de forma equivalente, si f x dx
a
( )
a
b
no converge, entonces gxdx ( ) tampoco lo hace. Un resultado semejante se cumple para a < x b, con lím
a
xa
remplazando a lím
x b
y
. Fig. 35.3
y g(x)
y f(x)
O
a
b
x
1
A guisa de ejemplo, considere dx
. Para 0 x < 1,
4
0 1
x
4 2
1− x = ( 1− x)( 1+ x)( 1+ x ) < 4( 1−
x) y 1 1 1
4 1− x
< − x
Como 1 1 1
dx
4 no converge, tampoco lo hace dx
0 1 x
.
4
0 1
x
1
1
Ahora considere dx
∫ . Para 0 < x 1, 1
<
1 . Como 1
0 2
2
x + x
x + x x
0 x dx
1
converge, entonces dx
∫ 0 2
x +
también lo hace.
Determine si cada una de las integrales siguientes converge:
1
4
x
a)
1 x
/ 4
edx
13 /
; b)
cos x
dx
0 x ; c)
0 x
0
/ 4
cos x
x dx
Respuestas: a) y c) convergen
27. Sea 0 f(x) g(x) para x a. Considere también que lím f( x) = lím g( x)
= 0 (fig. 35.4). No es difícil demostrar
x→+∞
x→+∞
que, si gxdx ( ) converge, f( x)
dx
a
también lo hace (y de forma equivalente, que si f( x)
dx
a
no converge,
a
entonces gxdx ( ) tampoco lo hace).
a