Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

23
2
1
y
(4, 1)
A
y
4
3
2
M
B
CAPÍTULO 3 Rectas
–1
0
1
2 3 4
x
1
–1
–2
(0, –2)
–2 –1 0 1 2 3 4
–1
x
Fig. 3.10 Fig. 3.11
2. La recta es la mediatriz del segmento de recta que une los puntos A(–1, 2) y B(3, 4), como se muestra en la
figura 3.11. Halle una ecuación para .
pasa por el punto medio M del segmento AB. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas
de M son (1, 3). La pendiente de la recta que pasa por A y B es 4 − 2
3−( −1) = 2 4 = 1 2 . Sea m la pendiente de . Por el
teorema 3.2, 1 2 m =− 1, donde m = –2.
La ecuación punto–intersección para tiene la forma y = –2x + b. Como M(1, 3) queda en , se tiene que
3 = –2(1) + b. Por ende, b = 5 y la ecuación punto–intersección de es y = –2x + 5.
3. Determine si los puntos A(1, –1), B(3, 2) y C(7, 8) son colineales, es decir, si se hallan en la misma recta.
A, B y C son colineales si y sólo si la recta AB es idéntica a la recta AC, lo que significa que la pendiente
de AB es igual a la de AC. Las pendientes de AB y AC son 2 −( − 1)
3−1
= 3 y 8 −( − 1)
2 7−1
= 9 6 = 3 2 . Por tanto, A, B y C son
colineales.
4. Pruebe analíticamente que la figura obtenida al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un
cuadrilátero es un paralelogramo.
Coloque el cuadrilátero con vértices consecutivos A, B, C y D en un sistema de coordenadas de manera
que A sea el origen, B quede en el eje x positivo y C y D queden por encima del eje x (fig. 3.12 en la siguiente
página). Sea b la coordenada x de B, (u, v) las coordenadas de C, y (x, y) las coordenadas de D. Entonces, por
la fórmula del punto medio (2.2), los puntos medios M 1 , M 2 , M 3 y M 4 de los lados AB, BC, CD y DA tienen
coordenadas ( b 2 , 0 ), ( u+
b , v
2 2)
, x+ u y + v
( ,
2 2 ) y ( x ,
y
2 2), respectivamente. Hay que mostrar que M 1 , M 2 , M 3 y M 4 es un
paralelogramo. Para hacerlo, basta probar que las rectas M 1 M 2 y M 3 M 4 son paralelas y que las rectas M 2 M 3 y
M 1 M 4 también lo son. Se calcula entonces las pendientes de tales rectas:
v
− 0
v
Pendiente ( MM
1 2)
=
2
=
2
=
v
u+ b −
b u u
2 2 2
Pendiente ( M M ) =
2 3
y + v −
v
2 2
=
x+ u −
u+
b
2 2
y
2
x−
b
2
y
=
x − b
Pendiente ( MM)
=
3 4
Pendiente ( MM)
=
1 4
y y
− + v
2 2 2
x
−
x + = − v
=
v
u
−
u u
2 2 2
y
− 0
2 y
=
x
−
b x − b
2 2
Puesto que la pendiente de (M 1 M 2 ) = pendiente de (M 3 M 4 ), M 1 M 2 y M 3 M 4 son paralelas. Como la
pendiente (M 2 M 3 ) = pendiente de (M 1 M 4 ), M 2 M 3 y M 1 M 4 también son paralelas. Por tanto, M 1 M 2 M 3 M 4 es un
paralelogramo.