Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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225 Entonces, K f ( d ) f ( y ) gd ( ) gy ( ) 2 y, entonces, f y f( d) gd ( ) K () 1 gy () gy () gy () 2 Ahora se tiene que y a + . Como g(y) y f(d) y g(d) son constantes, f(d)/g(y) 0 y 1 – g(d)/g(y) 1. Así, para y próximo a a, K f () y f . Por tanto, lím () y K gy () ya gy () 13. (CG) En los casos siguientes intente hallar el límite por métodos analíticos y luego compruébelo calculando el límite en una graficadora: CAPÍTULO 27 Regla de L’Hôpital a) 1 / x lím x ; Respuesta: 0 x0 b) 1 / x lím x ; Respuesta: 1 x x c) lím ( 1 cos x) ; Respuesta: 1; d) x0 lím x x x x Respuesta: d) 3 2 14. La corriente en un circuito con resistencia R, inductancia L y fuerza electromotriz constante E en el instante t está dada por i = E −e R − Rt / ( 1 L ). Obtenga una fórmula para calcular i cuando R está muy próxima a cero. Respuesta: Et L
28 Crecimiento y decrecimiento exponencial Considérese una cantidad y que varía con el tiempo y que dy = ky (28.1) dx para alguna constante k. Sea F(t) = y/e kt . Entonces, por la regla del cociente, dF dt kt e Dty− yDe t = kt e kt kt e ky− ye k 0 = kt = kt = 0 e e kt 2 2 2 Por tanto, F(t) debe ser una constante C. (¿Por qué?) Entonces, y/e kt = C y, por ende, y = Ce kt . Para evaluar C, sea t = 0. Así, y(0) = Ce 0 = C(1) = C. Si se designa y(0) por y 0 , entonces C = y 0 y se ha obtenido la forma general de la solución a la ecuación (28.1): y = y 0 e kt (28.2) Si k > 0, entonces y crece exponencialmente y k es la constante de crecimiento. Si k < 0, entonces y decrece exponencialmente y k es la constante de decrecimiento. La constante y 0 se denomina valor inicial. n u n t Del problema 2 del capítulo 27 se sabe que lím u 0 . Así, cuando k > 0, lím . u e kt 0 Luego, una cantidad t e que crece exponencialmente lo hace mucho más rápido que cualquier potencia de t. En muchos procesos naturales, como el crecimiento bacteriano o el decrecimiento radiactivo, las cantidades aumentan o disminuyen a una razón exponencial. Vida media Considérese que una cantidad y de cierta sustancia decrece exponencialmente, con un decrecimiento constante k. Sea y 0 la cantidad en el instante t = 0. ¿En qué momento T quedará sólo a la mitad de la cantidad original? Por (28.2) se llega a la ecuación y = y 0 e kt . Por tanto, en el instante T, y 1 2 0 0 1 2 = y e = e kT kT kT ln ( ) = ln ( e ) = kT 1 2 2 − ln = kT (28.3) T =− ln 2 (28.4) k 226
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2 Sistema de coordenadas rectangula
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16 CAPÍTULO 2 Sistemas de coordena
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3 Rectas Inclinación de una recta
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43 -4 F' 3 F 4 -2 y 5 2 x CAPÍTULO
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8 Continuidad Función continua Una
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9 La derivada Notación delta Sea f
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14 Valores máximos y mínimos Núm
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130 CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom
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17 Derivación de funciones trigono
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152 CAPÍTULO 18 Funciones trigonom
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19 Movimientos rectilíneo y circul
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20 Razones Si una cantidad y es una
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21 Diferenciales. Método de Newton
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38 Curvatura Derivada de la longitu
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52 Derivadas direccionales. Valores
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53 Derivación e integración de ve
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54 Integrales dobles e iteradas La
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57 Integrales triples Coordenadas c
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513 Además, d(F) + d(G)+ … = 0 r
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519 Para hallar una solución en pa
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521 40. La tangente y la normal a u
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Apéndice A Fórmulas trigonométri
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