Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Integrales dobles e iteradas
La integral doble
Considere una función z = f (x, y) que es continua en una región finita R del plano xy. Ahora defina una partición
de R dibujando una rejilla de rectas horizontales y verticales, que divide la región en n subregiones R 1 , R 2 ,…,
R n , de áreas 1 A, 2 A,…, n A, respectivamente (fig. 54.1). En cada subregión, R k , seleccione un punto P k (x k ,
y k ) y cree la suma
n
f( xk, yk) kA f(
x , y ) A 1 1 1
f( xn, yn)nA
(54.1)
k1
Defina el diámetro de una subregión como la máxima distancia entre dos puntos cualesquiera dentro o en su
frontera, y denote con d el máximo diámetro de las subregiones. Supóngase que se seleccionan las particiones
de manera que d 0 y n +. (En otras palabras, se seleccionan cada vez más subregiones y se hacen sus
diámetros más y más pequeños.) Entonces, la integral doble de f (x, y) sobre R se define como
R
f( x, y) dA lim f( x , y ) A
n
n
k 1
k k k
(54.2)
y
R k
(x k , y k )
R
O
x
Fig. 54.1
Ésta no es una afirmación sobre límites genuina. Lo que la fórmula (54.2) dice en realidad dice es que
R
f( x, y)
dA
es un número tal que, para todo > 0, existe un entero positivo n 0 tal que, para todo n n 0 y toda partición con
d < 1/n 0 , y toda suma de aproximación correspondiente f( x , y ) Δ A, se tiene que
n
∑
k=
1
k
k
k
∫∫
R
n
∑
k=
1
f( x , y ) Δ A−
f( x, y)
dA <
Cuando z = f (x, y) es un no negativo en la región R, como se muestra en la figura 54.2, la integral doble
(54.2) puede interpretarse como un volumen. Todo término f(x k , y k ) k A de (54.1) da el volumen de una columna
k
k
k
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