Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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( 1 , 0, 0)
2
Fig. 56.4
5. Determine el volumen acotado por el paraboloide x 2 + y 2 = 4z, el cilindro x 2 + y 2 = 8y y el plano z = 0 (fig.
56.5).
1 2 2
El volumen requerido se obtiene integrando z = 4 ( x + y ) sobre el círculo x 2 + y 2 = 8y. Utilizando las
coordenadas cilíndricas (véase el capítulo 57), el volumen se obtiene al integrar z = 1 2
4 ρ sobre el círculo r = 8
sen q. Entonces,
CAPÍTULO 56 Integración doble aplicada al volumen
8sen
8sen
V
zdA
zdd
1
3
dd
0 0
4 0
0
R
d
1 4 8sen
4
[ ] 256
d
16
0
sen 96
unidades cúbicas
0
0
6. Determine el volumen removido cuando se hace un hoyo de radio a a través de una esfera de radio 2a, siendo
el eje del hoyo un diámetro de la esfera (fig. 56.6).
z
z
O
y
O
y
x
x
Fig. 56.5 Fig. 56.6
Es evidente, por la figura, que el volumen requerido es ocho veces el volumen en el primer octante acotado
por el cilindro r 2 = a 2 , la esfera r 2 + z 2 = 4a 2 y el plano z = 0. Este último volumen se obtiene integrando
z 4a
2
2 sobre un cuadrante del círculo r = a. Por tanto,
/ 2 a
/
2
2 2
V 8
4a d d
8
3 3 4 3
( 8a 3 3a ) d
0 0
3
3 ( 8
3 3)
a unidades cúbicas
0
7. Deduzca la fórmula (56.2).
Considere una región R de área S sobre la superficie z = f(x, y). Por el límite de R pasa un cilindro
vertical (fig. 56.7 en la siguiente página) cortando el plano xy en la región R. Ahora se divide R en n