Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 18 Funciones trigonométricas inversas
Entonces, cos y= 1−
x 2
. Por ende, y
(18.1) D (sen 1
x
x )
−
=
1
1−
x
2
1
. Así, se ha demostrado que
2
1
x
Función coseno inversa
Si se restringe el dominio de cos x a [0, ], se obtiene una función uno a uno (con rango [–1, 1]). Por ello, es
posible definir cos –1 x como la inversa de esa restricción.
1. cos –1 (x) = y si y sólo si cos y = x.
2. El dominio de cos –1 x es [–1, 1].
3. El rango de cos –1 x es [0, ].
La gráfica de cos –1 x se muestra en la figura 18.2 y se obtiene mediante reflexión de la gráfica de y = cos x
en la recta y = x.
y
2
–1 0 1
y cos –1 x
x
Fig. 18.2
Un argumento similar al anterior para (18.1) demuestra que
(18.2) D (cos −
x
x ) =−
1 1
1−
x
2
Función tangente inversa
Al restringir el dominio de tan x al intervalo (–/2, /2) se obtiene una función uno a uno (con rango en el
conjunto de todos los números reales), cuya inversa es tan –1 x. Entonces:
1. tan –1 (x) = y si y sólo si tan y = x.
2. El dominio de tan –1 x es (–, +).
3. El rango de tan –1 x es (–/2, /2).
EJEMPLO 18.2. En general, tan –1 x = al número y en (–/2, /2) tal que tan y = x. En particular, tan –1 0 = 0,
tan –1 1
1 = /4, tan ( 3)
/ 3, tan 1 ( 33 / ) / 6 . Como tan(–x) = –tan x, se sigue que tan –1 (–x) = –tan –1 x. Por
ejemplo, tan –1 (–1) = –/4.
La gráfica de y = tan –1 x aparece en la figura 18.3. Se obtiene de la gráfica de y = tan x reflejada en la recta
y = x. Nótese que y = /2 es una asíntota horizontal a la derecha y y = –/2 es una asíntota horizontal a la izquierda.