Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos
Sea x = 2 sec , es decir, = sec –1 (x/2). Entonces, dx = 2 sec d y
x 2 2 2 2
4 4sec 4 2 sec 1 2 tan 2|tan |
Por definición de la inversa de secante, está en el primer o tercer cuadrante y, por consiguiente, tan > 0. Entonces,
tan |tan |
x 2 4/ 2. Ahora,
2
x
2
x 4
dx
2
4sec ( 2sectan )
d
2tan
3
4 sec d 2(sectan ln |sec tan | C) (por el problema 8 del capítulo 31)
2 2
4
4
2
x x
ln
x x
2 2 2 2
C
x x
2 4 x
x
2
2 4
ln
2
2
C
x
2
x 4
2
2
2 4
ln x x K donde K C 2ln2
Este ejemplo ilustra el método general que sigue:
2 2
Estrategia III. Si x − a se presenta en un integrado, trate de usar la sustitución x = a sec .
PROBLEMAS RESUELTOS
En los problemas 1 a 23, compruebe las soluciones dadas. Recuerde las identidades
1.
sen u= ( 1−cos 2u) cos u ( 1+ cos 2u) sen2x=
2sen
xcosx
2 1 2 2 1 2
sen xdx ( 1cos 2x) dx ( x sen 2x) C ( xsen xcos x) C.
2 1 2 1 2 1 2 1 2
2. ∫ cos 2 ( 3x) dx = ∫
1 ( 1 + cos 6x) dx= 1 ( x+
1 sen 6x)
+ C.
2 2 6
3.
sen3 x dx sen2 x sen x dx (1 cos2 x) sen x dx
2
sen x dx cos x( sen x)
dx
1 3
cos x 3 cos xC
(por la fórmula abreviada I).
4.
2 3 2 2
sen xcos xdx
sen xcos xcos
xdx
x xdx
2 2
sen x( 1sen
)cos
1
3
2
4
sen xcos xdx sen xcos
xdx
sen
3 1 5
5 sen
x xC
(por la fórmula abreviada I).