Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

276
CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
Para comprobar esto, sea g(x) reducible. Entonces, g(x) = (Ax + B)(Cx + D). Por consiguiente, x = –B/A y x =
–D/C son raíces de f(x). Con la fórmula cuadrática
x = − b ± 2
b − 4ac
2a
se deberían obtener tales raíces. Por tanto, b 2 – 4ac no puede ser negativa. Considérese recíprocamente que
b 2 – 4ac 0. Así, con la fórmula cuadrática se obtienen dos raíces de g(x). Pero si r es una raíz de g(x), se tiene
que g(x) es divisible entre x – r. ‡ Por consiguiente, g(x) es reducible.
EJEMPLO 33.3.
a) x 2 + 4 es irreductible, ya que b 2 – 4ac = 0 – 4(1)(4) = –16 < 0.
b) x 2 + x – 4 es reducible, ya que b 2 – 4ac = 1 – 4(1)(–4) = 17 0.
Se considerará sin prueba alguna la siguiente propiedad equitativa de los polinomios con coeficientes reales.
Teorema 33.1. Todo polinomio D(x) con 1 como coeficiente principal puede expresarse como producto de factores
lineales de la forma x – a y de factores cuadráticos irreductibles de la forma x 2 + bx + c. (Se permite la repetición
de factores.)
EJEMPLO 33.4.
a) x 3 – 4x = x(x 2 – 4) = x(x – 2)(x + 2)
b) x 3 + 4x = x(x 2 + 4) (x 2 + 4 es irreductible)
c) x 4 – 9 = (x 2 – 3)(x 2 + 3) = (x – √3)(x + √3)(x 2 + 3) (x 2 + 3 es irreductible)
d) x 3 – 3x 2 – x + 3 = (x + 1)(x – 2) 2
Método de fracciones parciales
Nx ( )
Considere que se desea evaluar Dx ( )
dx , donde Nx ( )
es una función racional propia y D(x) tiene 1 como
Dx ( )
coeficiente principal. Primero se escribe D(x) con producto de factores lineales y cuadráticos irreductibles.
El método dependerá de esta factorización. Se considerarán varios casos; en cada uno de ellos se explicará
primero el método por medio de un ejemplo y luego se planteará el procedimiento general.
Caso I
D(x) es un producto de factores lineales distintos.
EJEMPLO 33.5. Resuelva dx .
x 2 4
En este caso, D(x) = x 2 – 4 = (x – 2)(x + 2). Se escribe
1
=
A
+
B
( x− 2)( x+
2)
x − 2 x + 2
Supóngase que A y B son ciertas constantes, que se deben evaluar ahora. Se eliminan los denominadores multiplicando
ambos lados por (x – 2)(x + 2):
1 = A(x + 2) + B(x – 2) (1)
Primero se sustituye x por –2 en (1): 1 = A(0) + B(–4) = –4B. Entonces, B =− 1 4.
Luego, se sustituye x por 2 en (1): 1 = A(4) + B(0) = 4A. En estas condiciones A = 1 4 . Por tanto,
1
=
1 1 1 1
( x− 2)( x+
2)
4 x− 2
− 4 x+
2
‡
En general, si un polinomio h(x) tiene r como raíz, entonces h(x) debe ser divisible entre x – r.