Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

27
Regla de L’Hôpital
Los límites de la forma lím f ( x )
pueden evaluarse mediante el siguiente teorema en los casos indeterminados
gx ( )
donde tanto f(x) como g(x) tienden a 0, o ambas tienden a .
Regla de L’hôpital
Si f(x) y g(x), o ambas tienden a 0, o ambas tienden a , entonces,
Aquí, “lím” equivale a
f
lím ( x ) f′
lím ( x
=
)
gx ( ) g′
( x)
lím, lím, lím, lím, lím
x x xa xa
xa
Si desea consultar un esbozo de la demostración, repase los problemas 1, 11 y 12. Se considera, en el caso de
los tres últimos tipos de límites, que g(x) ≠ 0 para x que esté suficientemente próximo a a, y en el caso de los
primeros dos límites, que g(x) ≠ 0 para los valores de x suficientemente grandes o suficientemente pequeños.
(Las afirmaciones correspondientes sobre g(x) ≠ 0 se siguen del teorema de Rolle.)
EJEMPLO 27.1.
Como ln x tiende a + cuando x tiende a +, la regla de L’Hôpital implica que
lím
ln x
= lím
1/
x
= lím
1
= 0
x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞
x
EJEMPLO 27.2.
EJEMPLO 27.3.
Como e x tiende a + cuando x tiende a +, la regla de L’Hôpital implica que
lím
x→+∞
x
x
= lím
1
x
= 0
e x→+∞
e
Se sabe, por el problema 13a) del capítulo 7, que
lím
x
2
3x
5x8
7x
2x1
2
3
7
Puesto que 3x 2 + 5x – 8 y 7x 2 – 2x + 1 tienden a + cuando x tiende a +, la regla de L’Hôpital indica que
lím
x
2
3x
5x8
lím
x
x x 6 5
2
7 2 1 x
14x
2
218