Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

83
8. Derive y =
2
+
6
−
2
−
4
= x + x − x
x x x x
− 12 /
12 13 32 34
2 6 − 13 /
/ / / /
2
− 32 / −34
/
− 4x .
dy
= 2 −
1
x x x
dx ( ) + ( ) − 32
6 − 1
2
− 43
3
− 2 − 3
2
− 52
4
( ) − − −74
/
( x )
/ / / 3
−32 / −43 / −52 / −74
/
=−x − 2x + 3x + 3x
=−
1
3
x
4
−
2
+
3
+
3
x x x
/ 2 4/ 3 5/ 2 7/
4
3 2
−
9. Derive y = 3x
−
1
2 1/ 3 1/
2
= ( 3x
) −( 5x) .
5x
dy
=
1 −
−
x x − − x
x
dx
( ) =
3 3 2 2/ 3 6 1
2 5 3/
2
( ) ( ) ( ) ( 5 )
2 5 2 1
4 1/ 3+ 1/
2= +
( 9x
) 25 ( x)( 5x)
3
9x 2x 5x
10. Demuestre la regla de la cadena de potencias: D x (y m ) = my m–1 D x y.
Ésta es sencillamente la regla de la cadena, donde la función externa es f (x) = x m y la función interna es y.
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
11. Derive s = (t 2 – 3) 4 .
Por la regla de la cadena de potencias, ds
dt
2 3 2 3
= 4( t − 3) ( 2t) = 8t( t −3) .
12. Derive a) z =
3
2 2 −2
2 2 1/
2
2 2 2
= 3( a − y ) ; b) f ( x) = x + 6x+ 3 = ( x + 6x+
3) .
( a − y )
a) dz
a y
d
dy
= − 2 − 2 −3 dy a 2 − y 2 = − a 2 − y 2 −
12y
3( 2)( ) ( ) 3( 2)( ) 3 ( − 2y)
=
2 2 3
( a − y )
b)
f ( x ) 1
( 2
x x ) 1/
2 d
dx ( x 2 x ) 1 ( x 2
x 12
2 6 3 6 3 2 6 3) /
( 2x
6)
13. Derive y = (x 2 + 4) 2 (2x 3 – 1) 3 .
Utilice la regla del producto y la regla de la cadena de potencias:
y ( x 4) d
( 2x
1) ( 2x
1) d
(
dx
dx x 4)
( x
2 2 3 3 3 3 2 2
2 2 3 2 3 3 3 2
x 3
2
x 6x3)
4) ( 3)( 2x
1) d
2
( 2x 1) ( 2x 1) ( 2)(
x 4) d
( 4)
dx
dx x
2 2 3 2 2 3 3 2
( x 4) ( 3)( 2x 1) ( 6x ) (
2x
1) ( 2)( x 4)( 2x)
2 3 2 3
2xx ( 4)( 2x 1) ( 13x 36x2)
14. Derive y =
3 − 2x
3+
2 x
.
Utilice la regla del cociente:
( 32x) d ( 32x) ( 32x) d ( 32x)
y dx
dx ( 32x)( 2) ( 32x)( 2)
12
( 3
2x)
2 ( 3
2x) ( 3
2x)
2 2
15. Derive y =
2
2
x
=
x .
2
2 1 2
4 − x ( 4 − x ) /
2 1
dy ( − x ) / 2d
dx x 2
− x 2 d 2 1
4 ( ) ( 4−
x )
=
dx
/ 2
2 1/ 2 2 1 2 −1/
2
( 4 − x ) ( 2x) −( x )( − x − x
2
=
2 )( 4 ) ( 2 )
2
dx
4 − x
4 − x
2 1/ 2 3 2 −1/ 2 2 1/
2
2 3
( 4 − x ) ( 2x) + x ( 4−
x ) ( 4 − x ) 2x( 4− x ) + x
3
=
2
2 12 /
=
2 3/ 2
=
8x−
x
2 3/
2
4 − x
( 4 − x ) ( 4 − x ) ( 4 − x )
16. Halle dy
dx , dado x = y 1−
y 2
.
La regla del producto,
dx
dy
y
y 1
y y y
2 1 2 1/ 2 2 1 2 1/
2
1 2
( ) ( ) ( )
1 y
2
2