Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
12. Un sólido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle el volumen del sólido si cada sección plana
perpendicular a un diámetro fijo en particular es un triángulo equilátero.
Se toma el círculo como en la figura 30.18, con el diámetro fijo sobre el eje x. La ecuación del
círculo es x 2 + y 2 = 16. La sección transversal ABC del sólido es un triángulo equilátero de lado 2y y área
A(x) = 3y 2 = 3(16 − x 2 ). Entonces, por la fórmula de la sección transversal,
4
2
1
4
3 256
V 3 ( 16 x ) dx 316x
x 3
4
3 4
13. Un sólido tiene una base una forma de un elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si
cada sección perpendicular al eje mayor es un triángulo isósceles con altura 6.
Se toma la elipse como en la figura 30.19, con la ecuación x 2 2
y
+ = 1. La sección ABC es un triángulo
25 16
isósceles con base 2y, altura 6 y área A( x)= 6y= 6 4 − x
5 25 2
. Por tanto,
5
5
( )
24 2
V 5 25 x dx60
z
3
3 y
C
2y
O
y
B
y
x
A
y
5
Fig. 30.18
2
(Nótese que 25 xdx es el área de la mitad superior del círculo x 2 + y 2 = 25 y, por tanto, es igual a
5
25/2.)
z
C
O
6
B
y
y
x
y
A
Fig. 30.19
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
14. Considere la región R acotada por la parábola y 2 = 8x y la recta x = 2 (fig. 30.4).
a) Determine el volumen del sólido generado al girar en torno al eje y.
b) Halle el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x = 2.
Respuestas: a) 128 ; b)
5 256
15