Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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En
, tan 3 1
1 3 , tan 2
3 y tan 1 . El ángulo agudo de intersección en 3
,
3
2
3 y, por
3 5
simetría, en ,
2
3 es 6 .
En el polo, un diagrama o el resultado del problema 5 muestra que las curvas son ortogonales.
12. sec 2 1 2 , 2 1
3csc 2 .
Al despejar sec 3 cosec para los puntos de intersección, se obtiene
2 1
2
2 1
2
Para sec 2 1 2 1 1 1
2 : ρ' = sec 2 θtan
2 θ y tan1
cot 2
2 1
Para 3cosec
2 : ' cosec cot y tan
tan
3
2 1
2
1
2
2
4,
2
3 y 4,
4
3
1
2
.
En
2
, tan
3 1
1/ 3 , tan 2
3 y 1 2 , las curvas son ortogonales. De igual forma, las curvas
son ortogonales en
4
.
3
CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
13. r = sen 2q, r = cos q (fig. 41.15).
Las curvas se intersecan en los puntos
3
,
2 6 y –
3
,
5
2 6 y el polo.
Para r = sen 2q: r' = 2 cos 2q y
1
tan1
2 tan2
Para r = cos q: r' = –sen q y tan y 2 = – cot q
En
tan
6 1
32 / , tan 2
3 y tan 1
3 3. El ángulo agudo de intersección en el punto
3
,
2 6 es tan 1 3 3 796 . De igual forma, en
5
, tan
6 1
32 / , tan 2
3 y el ángulo de
intersección es tan −1 3 3.
En el polo, los ángulos de intersección son 0 y 2 .
y
x
Fig. 41.15
En los problemas 14 a 16, determine ds
d
en el punto P(r, q).
14. r = cos 2q
ds
r' = –2 sen 2 y ( ) 3 2
d
2 ' 2 cos
2 2 4sen 2 2 1 sen
2
15. r(1 + cos q) = 4
Derivando se obtiene –r sen q + r'(1 + cos q) = 0. Entonces,
ρ senθ
ρ'
= =
4senθ
ds 2 2
+
2
1 cosθ
y ( )
4 2
'
( 1+
cos θ)
d
( 1
cos ) /
32