Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 31 Técnicas de integración I: integración por partes
b) Sea u = sen x, dv = x dx. Entonces, du = cos x dx, v= 1 2
2 x y
x sen x dx 1 2 x2 sen x x
1 2
2 cos
Como la integral resultante no es tan simple como la original, esta opción también se descarta.
c) Sea u = x, dv = sen x dx. Entonces du = dx, v = –cos x y
x sen x dx x cos x
xdx
cos x dx x cos x sen x C
5. Halle x 2
ln xdx.
Sea u = ln x, dv = x 2 dx. Entonces, du
6. Resuelva sen 1
xdx.
Sea u = sen –1 x, dv = dx
=
dx
, v
x
x
3 y
= 3
3 3 3 3
2
x xdx
x
x
x dx x
x
1 2
x dx
x
ln ln ln ln x
1
3 3 x 3 3
9 x3 C
3
−
u = sen 1 x dv = dx
du =
1
− x dx v = x
2
1
Por tanto
x
sen–1 x dx x sen –1 x
1 x
x sen –1 1 2
x 2 1 x )
12 /
( 2xdx
)
2
dx
x sen –1 1 2 1/
2
x + 2 ( 21 ( − x ) ) + C
(por la fórmula abreviada I)
x sen –1 2 1/
2
x + 1− x + C = x − 1
( ) sen x+ 2
1− x + C
7. Resuelva tan 1
xdx.
Sea u = tan –1 x, dv = dx
−
u = tan 1 x dv = dx
du =
1
x dx v = x
+
2
1
Por ende,
tan 1
tan 1
tan
1
xdx x x
2
1 2
2
2
1
xx dx x x x
1 x
dx
= − 1 1 2
xtan x− 2 ln( 1 + x ) + C
(por la fórmula abreviada II)
8. Halle sec 3 xdx.
Sea u = sec x, dv = sec 2 x dx
u= sec x
2
dv=
sec x dx
du = sec x tan x dx v = tan x