Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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339 EJEMPLO 41.8. Determine los ángulos (agudos) de intersección de r = cos 2q y r = cos q. Los puntos de intersección se hallaron en el ejemplo 7. También se necesita tan y 1 y tan y 2 . Para r = cos q, con 1 la fórmula (41.3) se obtiene tan y 1 = –cot q. Para r = cos 2q, la fórmula (41.3) resulta en tan 2 2 cot 2 . En el punto (1, 0), tan y 1 = –cot 0 = y de igual forma, tan y 2 = . Entonces 1 2 y, por tanto, f = 0. 2 En el punto 1 , 2 3 2 3 , tan1 3 y tan 2 3 6 . Entonces, por (41.6), ( 33 / ) ( 36 / ) tan 1 ( 1/ 6) y, por consiguiente, el ángulo agudo de intersección f = 46° 6'. Por simetría, éste también es el ángulo agudo de intersección en el punto 1 , 4 2 3 . En el polo, en r = cos q, el polo está dado por θ = π . En r = cos 2q, el polo está dado por θ = π y θ = 3 2 4 π . Así, 4 en el polo hay dos intersecciones y el ángulo agudo es de 4 en ambas. 3 3 5 CAPÍTULO 41 Coordenadas polares La derivada de la longitud de arco La derivada de la longitud de arco está dada por ds 2 2 = ρ +( ρ ) dθ ' (41.7) dρ donde ρ' = dθ y se entiende que s aumenta con q. En el problema 20 se presenta la demostración correspondiente. Curvatura La curvatura de una curva polar está dada por En el problema 17 se presenta la demostración respectiva. 2 2 2( ' ) '' K 2 2 3/ 2 (41.8) [ ( ' )] PROBLEMAS RESUELTOS 1. Deduzca la fórmula (41.3): tan d d donde ' d ' d . En la figura 41.7, Q(r + r, q + q) es un punto en la curva próximo a P. Con base en el triángulo rectángulo PSQ, sen sen sen tan SP SP SQ OQ OS cos ( 1 cos ) 1 cos Cuando Q P a lo largo de la curva, q 0, OQ OP, PQ PT y l y. T Q O S P x Fig. 41.7
340 CAPÍTULO 41 Coordenadas polares Cuando q 0, sen 1 y 1 cos 0. Entonces, tan lím tan d 0 dp / d d En los problemas 2 y 3 use la fórmula (41.3) para determinar tan y para la curva dada en el punto indicado. 2. r = 2 + cos q en (fig. 41.8). 3 En 1 5 , 2 3 2 2 , 3 ' sen y tan 5 2 ' 3 y O P T x Fig. 41.8 3. r = 2 sen 3q en (fig. 41.9). 4 En , 2 1 2 , ' 6cos3 6 1 3 2 y tan 4 2 2 1 3. ' y T P O x Fig. 41.9 cos ' sen 4. Compruebe la fórmula (41.4): tan sen cos De la figura 41.7, t = y + y d sen tan tan d cos tan tan( ) 1 tan tan 1 d sen d cos d cos sen s d co ' sen d sen ' cos cos sen d 5. Demuestre que si r = f(q) pasa por el polo y q 1 es tal que f(q 1 ) = 0, entonces la dirección de la tangente a la curva en el polo (0, q 1 ) es q 1 (fig. 41.10). En (0, q 1 ), r = 0, y r' = f’(q 1 ). Si r' 0 Si r' = 0, tan cos ' sen 0 f' ( 1) sen1 tan sen cos 0 f ' ( )cos 1 ' 1 1
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Cálculo Quinta edición Frank Ayre
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Índice de contenido 1 Sistemas de
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3 a b a b Intervalo abierto (a, b):
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7 11. Describa y trace la gráfica
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2 Sistema de coordenadas rectangula
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11 Cuadrantes Suponga que se ha est
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13 EJEMPLO 2.3. ⎛ a) El punto med
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16 CAPÍTULO 2 Sistemas de coordena
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3 Rectas Inclinación de una recta
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8 Continuidad Función continua Una
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17 Derivación de funciones trigono
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25 El logaritmo natural La forma tr
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26 Funciones exponenciales y logar
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27 Regla de L’Hôpital Los límit
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28 Crecimiento y decrecimiento expo
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511 e) Un cono circular recto de al
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513 Además, d(F) + d(G)+ … = 0 r
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517 2 tan xdx 2 El factor de integr
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519 Para hallar una solución en pa
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521 40. La tangente y la normal a u
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Apéndice A Fórmulas trigonométri
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