Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Valores máximos y mínimos
Números críticos
Un número x 0 en el dominio de f tal que f (x 0 ) = 0 o f (x 0 ) no esté definido se llama número crítico de f.
Recuérdese (teorema 13.1) que si f tiene un extremo relativo en x 0 y f (x 0 ) está definida, entonces f (x 0 ) = 0
y, por tanto, x 0 es un número crítico de f. Sin embargo, observe que la condición f (x 0 ) = 0 no garantiza que f
tenga un extremo relativo en x 0 . Por ejemplo, si f (x) = x 3 , entonces f (x) = 3x 2 y, por consiguiente, 0 es un número
crítico de f; pero f no tiene un máximo relativo ni un mínimo relativo en 0 (fig. 5.5).
EJEMPLO 14.1.
a) Sea f (x) = 7x 2 – 3x + 5. Entonces, f (x) = 14x – 3. Al igualar f (x) a cero, f (x) = 0, y resolver se llega a que el
único número crítico de f es 14.
3
b) Sea f (x) = x 3 – 2x 2 + x + 1. Entonces, f (x) = 3x 2 – 4x + 1. Al despejar f (x) = 0, se halla que los números
críticos son 1 y 1.
3
c) Sea f (x) = x 2/3 . Entonces, f( x)
2
x 13 /
2
/
3 3x13. Como f (0) no está definida, 0 es el único número crítico de f.
Es indispensable hallar algunas condiciones que permitan concluir que una función f tiene un máximo o un
mínimo relativo en un número crítico dado.
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Supóngase que f (x 0 ) = 0 y que f (x 0 ) existe. Luego, si
i) f (x 0 ) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x 0
ii) f (x 0 ) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x 0
iii) f (x 0 ) = 0, entonces se ignora qué pasa en x 0 .
En el problema 9 se proporciona una demostración. Para ver que el inciso iii) es válido se consideran tres
funciones: f (x) = x 4 , g(x) = –x 4 y h(x) = x 3 . Como f (x) = 4x 3 , g(x) = –4x 3 y h(x) = 3x 2 , 0 es un número crítico
de las tres funciones. Como f (x) = 12x 2 , g(x) = –12x 2 y h(x) = 6x, la segunda derivada de las tres funciones
es 0 en 0. Sin embargo, f tiene un mínimo relativo en 0, g tiene un máximo relativo en 0 y h no tiene un máximo
ni un mínimo relativo en 0.
EJEMPLO 14.2.
a) Considere la función f (x) = 7x 2 – 3x + 5 del ejemplo 1a). El único valor crítico fue 14. 3 Como f (x) = 14, f ( 14 3 )
= 14 > 0. Entonces, el criterio de la segunda derivada dice que f tiene un mínimo relativo en 14.
3
b) Considere la función f (x) = x 3 – 2x 2 + x + 1 del ejemplo 1b). Observe que f (x) = 6x – 4. En los números críticos
1 y 1 1
3, f (1) = 2 > 0 y f ( 3 ) = 2 > 0. Por tanto, f tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 1 3.
c) En el ejemplo 1c), f (x) = x 2/3 y f (x) = 2 3 x –1/3 . El único número crítico es 0, donde f no está definida. Por tanto,
f (0) no está definida y el criterio de la segunda derivada no es aplicable.
Si no se puede utilizar o resulta inconveniente el criterio de la segunda derivada, ya sea porque la segunda
derivada es 0 o porque no existe o es difícil de calcular, se puede aplicar el criterio siguiente, sin perder de vista
que f (x) es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en x.
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