Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Aplicaciones de la integración III:
área de una superficie de revolución
Si un arco de una curva gira en torno de una recta que no corta el arco, entonces la superficie resultante se
denomina superficie de revolución. Por área de superficie de tal superficie se entiende el área de su superficie
externa.
Sea f una función continua en [a, b] que es diferenciable en (a, b) y tal que f (x) 0 para a x b. Entonces,
el área de superficie S de la superficie de revolución generada al girar la gráfica de f en [a, b] alrededor del eje
x se obtiene con la fórmula
b dy
S 2
y 1
a dx
2
b
a
2
dx 2
f ( x) 1( f ( x)) dx
(36.1)
Véase en el problema 11 una justificación de esta fórmula.
Hay otra fórmula como la (36.1) que se obtiene cuando se intercambian los papeles de x y de y. Sea g una
función continua en [c, d] que es diferenciable en (c, d) y tal que g(y) 0 para c y d. Entonces, el área de
superficie S de la superficie de revolución creada por el giro de la gráfica de g en [c, d] alrededor del eje y se
obtiene con la fórmula:
d dx
S 2
x 1
c dy
2
d
c
2
dy 2
g() y 1( g()) y dy
(36.2)
Asimismo, si una curva está dada por ecuaciones paramétricas x = f(u), y = g(u) (véase el capítulo 37), y si el
arco desde u = u 1 hasta u = u 2 se gira en torno del eje x, entonces el área de superficie de la superficie de revolución
resultante está dada por la fórmula
2 2
u2
dx dy
S = 2π y
⎛ ⎞
+ ⎛ ⎞
∫
du
(36.3)
u1
⎝ du ⎠ ⎝ du ⎠
En este caso se ha supuesto que f y g son continuas en [u 1 , u 2 ] y diferenciables en (u 1 , u 2 ), y que y = g(u) 0 en
[u 1 , u 2 ]. Otra fórmula de este tipo se cumple en el caso de una revolución en torno al eje y.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine el área S de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje x el arco de la parábola
y 2 = 12x de x = 0 a x = 3.
Por derivación implícita,
dy
dx
2 2
= 6 36
y 1+ ⎛ dy ⎞
2
y
⎝ ⎠ = y +
dx y
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