Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Cuando se utilizan las franjas horizontales (fig. 54.8), son necesarias dos integrales iteradas. Denótese con
R 1 la parte R que está por debajo de AB, y R 2 la parte que está por encima de AB. Entonces,
1 y
2 1
0
y/ 2 1
y / 2
R R1 R2
dA dA dA dx dy dx dy
2
O
y
A
y 2x
(1, 2)
1
B(1, 1)
y x 2
x
5
12
1
4
2
3
CAPÍTULO 54 Integrales dobles e iteradas
Fig. 54.8
2
9. Calcule xdAdonde R es la región en el primer cuadrante limitada por la hipérbola xy = 16 y las rectas y = x,
R
y = 0, y x = 8 (fig. 54.9).
y
(4, 4)
O
R 2
R 1
(8, 2) y 2
x
Fig. 54.9
De la figura 54.9 se deduce que R debe separarse en dos regiones, y una integral iterada debe evaluarse para
cada una de ellas. Sea R 1 la parte de R que está por encima de la recta y = 2, y R 2 la parte que queda por debajo
de dicha recta. Entonces,
2 2 2 2
2
x dA x dA x dA x dx dy x dx dy
R R1 R2
1
3
4 16/
y
4 3
2
16 3 1 3 3
2
3
y dy 8
y dy
0
y
2
3
y
2 8
0 y
Como ejercicio para el lector, se puede separar R con la recta x = 4 y obtener
1
3
R
x
2 2
2
x dA x dydx x dydx
0
4
0
8 16/
x
x2
10. Calcule e dxdy
0 invirtiendo primero el orden de integración.
3y
x
La integral dada no puede ser evaluada directamente, porque e 2
dx no es una función elemental. La
región R de integración (fig. 54.10) está acotada por las rectas x = 3y, x = 3, y y = 0. Para invertir el orden de
integración, primero se integra respecto a y, desde y = 0 hasta y = x/3, y luego, respecto a x desde x = 0 hasta x
= 3. Así,
1
3
0 3y
3
x/
3
4
0
448
x2 x2 x2
x/
3
e dx dy e dydx [ e y]
dx
0
0
3
1 x2 1 x2
3 1 9
6
3 e xdx [ e ]
0
0
6 ( e 1)
3
0
0