Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos
24. Resuelva
9
4x
2
dx.
x
2 9 2
9− 4x
= 2 4 − x . Entonces, sea x = 3 2
sen . Luego,
dx = 3 2 cosθdθ y 9 4x 2 99sen 2 3 cos 2 3|cos | 3cos
Por tanto,
∫
2 3
9−
4x
3cos θ( 2
= ∫
2 cos θ)dθ
dx
3
= 3
cos θ
x
senθ
senθ d θ =
− θ
∫ 3∫
1 2
sen
θ
d θ
sen
2
= 3∫ (cosec θ − sen θ) d θ = 3 ln|cosec θ − cot θ + 3 θ cos + C
Pero,
cosec
1
3
sen
2x
y
cot
cos
sen
9
4 / 3
2x/
3
x 2 2
9
4x
2x
Entonces,
9
4x
x
3
94x
2
dx 3ln 94x
K donde K = C – 3 ln 2
x
2 2
25. Resuelva dx
.
x 9
4x
2
Sea x = 3 2 tanθ (fig. 32.2). Entonces, dx = 3 2
2
2 sec θ y 94x
3sec . Por consiguiente,
∫
x
3 2
dx
2 sec θdθ
=
2 3
9+
4x
∫ ( 2 tan θ)( 3sec θ)
1
1
= cosecθ dθθ cosec θ θ
3 ∫ = 3 ln| − cot | + C
=
ln
9+ 4x
−3
x
1
3
2
+ K
9 4x 2
2x
3
Fig. 32.2
26. Halle
( 16 9x
2 ) 3/
2
6
dx.
x
Sea x = 4 3 sen (fig. 32.3). Entonces, dx = 4 2
3 cosθdθ y 16 9x
4cos . Por tanto,
2 3/
2
3 4
( 16 9x
) ( 64cos )( 3 cos d)
6
dx
x 4096
sen
729
6
243
16
cot 4 cosec 2 d
243
cot
80
5 C
2 43
2 5 2
( 16 9x
) 1 ( 16 9x
)
5
C
5
80 243x
80 x
/ 2 5 / 2
C