Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 50 Vectores en el espacio
se obtiene
i . a a1 j.
a a2
k . a
cos
, cos , cos
|| a || a
|| a || a
|| a || a
Éstos son los cosenos directores de a. Como
2 2
a
2 2 2 1
a2
a
cos cos cos
|| a
2
3
2
1
el vector u = i cos + j cos + k cos es un vector unitario paralelo a a.
a 3
Determinantes
Se supone que se conocen bien los determinantes de 2 2 y 3 3. En particular,
a
c
b
d
= ad – bc
y
a b c
d e f
g h i
= a e f − b d f + c d
h i g i g
e
h
La expansión del determinante de 3 3 va “a lo largo de la primera fila”. Esto es igual a las expansiones
apropiadas a lo largo de las otras filas y hacia abajo en las columnas.
Vector perpendicular a dos vectores
Sean
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k
dos vectores no paralelos con punto inicial común P. Mediante un cálculo sencillo puede demostrarse que
c = a
b
a
b
2 3
2 3
i j k
a3 a1
a1 a2
i + j+ k = a1
a2 a3
b3 b1
b1 b2
b b b
1 2 3
(50.4)
es perpendicular (normal a) tanto a a como a b y, por ende, al plano de estos vectores.
En los problemas 5 y 6 se demuestra que
|c| = |a||b| sen = área de un paralelogramo con lados a y b no paralelos
Si a y b son paralelos, entonces b = ka y con (50.4) se demuestra que c = 0; es decir, c es el vector cero. El
vector cero, por definición, tiene magnitud 0 y dirección sin especificar.
Producto vectorial de dos vectores
Se toma
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k
con punto inicial P y represéntese con n el vector unitario normal al plano de a y b, dirigido de forma tal que a,
b y n (en ese orden) formen una tríada derecha (dextrógira) en P, como en la figura 50.5. El producto vectorial
o producto cruzado de a y b se define como
a b = |a||b| sen n (50.6)