Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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EJEMPLO 45.4. Considere una serie
2
2n
. Entonces, lím
n n
n n | sn|
lím
4
n 0. Por el criterio de la raíz,
n
la serie converge absolutamente.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Demuestre que si s n es absolutamente convergente, entonces es convergente.
0 s n + |s n | 2 |s n |. Como |s n | converge, 2|s n | también lo hace. Luego, por el criterio de comparación,
(s n + |s n |) converge. Por tanto, s n = s n ((s n + |s n |) – |s n |) converge por el corolario 43.4.
En los problemas 2 a 13, determine si la serie indicada converge absolutamente, condicionalmente o no converge.
CAPÍTULO 45 Series alternadas
2.
3.
1 1
2
1 1
5
10
17
.
n+
1
sn
= ( −1)
1
2 .
1
n + 1 ∑ 2 converge por comparación con la serie p convergente
n + 1
n1
( 1)
1
2 es absolutamente convergente.
n 1
1
. Entonces,
1
2 3 4
2
3
4
e
.
e e e
n
s
n
n
= ( − 1)
+ 1 n
n . La serie
e e n converge por el criterio de la integral [utilizando f( x)= x
]. Por tanto,
e x
( 1)
n1
n
n es absolutamente convergente.
e
4. 1
1
1
1
1
.
2 3 4 5
n
sn
= − + 1
( 1)
1
. Como
1
es una sucesión decreciente, la serie converge en virtud del teorema de series
n n
1
1
alternadas. Pero es divergente, ya que es una serie p con p = <
n
2 1.
5. 1 1 1 1
2
4
8
.
La serie 1– 1 1 1
2
+
4
−
8
+⋅⋅⋅ es una serie geométrica con razón r = 1 2. Como |r| < 1, converge y, por tanto, la
serie dada es absolutamente convergente.
6. 1
2
3
4
.
2 3
3 3 3
n
s
n
n
= − + 1
( 1)
n−1 . Se aplica el criterio de la razón:
3
sn
1
lím
n 1 n n
n n
1
1
1
.
n
s 3 3 n 3 Entonces, sn
Por tanto, la serie dada es absolutamente convergente.
n
s 1
1
n
3 1
n 2
7.
8.
1
2
1
3
1
4
1
3
2 3 2 4 3 3 3
.
5 4
n+
1
s
n
n
= ( −1)
1
3 . Preste atención a
n + 1 n |s n |. | s | = n 1
n
<
1
3
n + 1 n n3. Entonces |s n | converge por comparación
1
con la serie p convergente . Por tanto, la serie es absolutamente convergente.
n 3
2
3
1
4
1
5
1
.
3 4 2 5 3 6 4
n+
1
s
n
n
= ( −1)
+ 1 1
n + 1
. Observe que ⋅
1
⎛
n+
2 n
n+
2 n
es una sucesión decreciente como D
x + 1
x
⎝
⎜ ( x+
x) < ⎞
0
( 2)
⎠
⎟ . Por
tanto, la serie dada es convergente por el teorema de series alternadas. Sin embargo, | s | > 1 n
⋅
1
. Entonces,
2 n
|s n| diverge por comparación con
1
. Es decir, la serie dada resulta condicionalmente convergente.
n