Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Centroides y momentos de
inercia de áreas planas
Área plana por integración doble
Si f(x, y) = 1, la integral doble del capítulo 54 se convierte en
R
dA. En unidades cúbicas, es la medida de un
volumen de un cilindro de altura unitaria; en unidades cuadradas, mide el área A de la región R.
En coordenadas polares,
b r 2
q
A dA r dr dq
a
donde q = a, q = b, r = r 1 (q) y r = r 2 (q) se seleccionan como fronteras de la región R.
R
Centroides
El centroide ( x, y) de la región plana R se considera intuitivamente de la manera siguiente: si se supone que R
tiene una densidad unitaria uniforme, y si R está apoyada desde abajo en el punto ( x, y), entonces R se balancea
(es decir, R no gira del todo).
Para ubicar ( x, y), primero se considera la recta vertical x = x . Si se divide R en subregiones R 1 ,…, R n , de
áreas 1 A,…, n A como en el capítulo 54, y se seleccionan los puntos (x k , y k ) en cada R k , entonces el momento
(fuerza rotacional) de R k en torno a la recta x = x es aproximadamente x k
x A.
k Luego, el momento de R en
n
torno a x = x es aproximadamente x k
x k
A. Al hacer la partición (división) de R cada vez más pequeña,
k1
se obtiene x xdA
como el momento de R en torno a x = x . Para no tener rotación en torno a x = x , se
R
necesita x xdA0. Pero
R
r 1 q
x x dA xdA xdA xdA x
R
R
Por tanto, se debe tener
xdA x dA. De igual forma se llega a
ydA y dA. Luego, el centroide está
determinado por las ecuaciones
R
Nótese que dA es igual al área A de la región R.
R
R
R
xdA x dA y
ydA y dA
R
R
R
R
R
R
R
dA
R
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