Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Además, d(F) + d(G)+ … = 0 resulta en F + G + … = constante (véase los problemas 10 a 14).
Las denominadas ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, dy + Py = Q , donde P y Q son funciones
de x solamente, tienen la función ( x)
e P dx
como factor de integración (véase los problemas 15 a 17).
dx
Una ecuación de la forma dy + Py = Qy
dx
n , donde n 0, 1 y donde P y Q son funciones de x solamente, puede
reducirse la forma lineal por la sustitución
1−n
−n
dy 1 dz
y = z,
y =
dx 1 − n dx
(Véase los problemas 18 y 19).
Ecuaciones de segundo orden
Las ecuaciones de segundo orden que se resolverán en este capítulo son de los tipos siguientes:
2
dy
2 = f( x) dx
(véase el problema 23)
2
dy
f x dy
2 = ⎛ ,
⎞
(véase los problemas 24 y 25)
dx ⎝ dx⎠
2
dy
2 = f() y (véase los problemas 26 y 27)
dx
2
dy
P dy
2 + + Qy = R, donde P y Q son constantes y R es una constante o función de x solamente
dx dx
(véase los problemas 28 a 33).
CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
Si la ecuación m 2 + Pm + Q = 0 tiene dos raíces m 1 y m 2 , entonces y C e mx mx
=
1
1
+ C2e
2 es la solución general
de la ecuación dy 2
P dy
2 + + Qy = 0. Si las dos son idénticas, de manera que m
dx dx
1 = m 2 = m, entonces,
mx mx mx
y= C e + C xe = e ( C + C x)
1 2 1 2
es la solución general.
La solución general de dy 2
P dy
2 + + Qy = 0 se denomina función complementaria de la ecuación
dx dx
2
dy
P dy
2 + + Qy = R( x) (59.1)
dx dx
Si f(x) satisface (59.1), entonces la solución general de (59.1) es
y = función complementaria + f (x)
La función f(x) se llama solución particular de (59.1).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Demuestre que a) y = 2e x , b) y = 3x y c) y = C 1 e x + C 2 x, donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias, son
soluciones de la ecuación diferencial y''(1 – x) + y' x – y = 0.
a) Derive y = 2e x dos veces para obtener y' = 2e x y y'' = 2e x . Sustituya en la ecuación diferencial para obtener
la identidad 2e x (1 – x) + 2e x x – 2e x = 0.
b) Derive y = 3x dos veces para obtener y' = 3 y y'' = 0. Sustituya en la ecuación diferencial para obtener la
identidad 0(1 – x) + 3x – 3x = 0.
c) Derive y = C 1 e x + C 2 x dos veces para obtener y' = C 1 e x + C 2 y y'' = C 1 e x . Sustituya en la ecuación
diferencial para obtener la identidad C 1 e x (1 – x) + (C 1 e x + C 2 )x – (C 1 e x + C 2 x) = 0.
La solución de c) es la solución general de la ecuación diferencial porque satisface la ecuación y contiene
el número apropiado de constantes arbitrarias esenciales. Las soluciones de a) y b) se denominan soluciones