Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Cuando un objeto que se mueve en línea recta cambia de dirección, su velocidad v = 0. Un cambio de dirección
ocurre cuando la posición s llega a un extremo relativo, y esto sucede sólo cuando ds/dt = 0. (Sin embargo,
lo contrario es falso; ds/dt = 0 no siempre indica un extremo relativo. Un ejemplo es s = t 3 en t = 0.)
EJEMPLO 19.2. Supóngase que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) =
(t – 2) 2 , donde s se mide en pies y t en segundos. (La gráfica de f aparece en la figura 19.2.) Entonces, v = f (t)
= 2(t – 2) pies/s y a = 2 pies/s 2 . Para t < 2, v < 0 y el objeto se mueve a la izquierda (fig. 19.3). Para t > 2, v > 0 y el
objeto se mueve a la derecha. El objeto cambia de dirección en t = 2, donde v = 0. Nótese que si bien la velocidad v
es 0 en el momento t = 2, el objeto se está moviendo en ese instante, no está en reposo. Cuando se dice que un objeto
está en reposo significa que su posición es constante durante todo un intervalo de tiempo.
s
CAPÍTULO 19 Movimientos rectilíneo y circular
2
t
Fig. 19.2 Fig. 19.3
Movimiento bajo la influencia de la gravedad
Si un objeto ha sido lanzado hacia arriba o hacia abajo, o tan sólo a partir de un estado de reposo, y la única fuerza
que actúa sobre él es la gravitacional de la Tierra, el movimiento rectilíneo resultante se denomina caída libre.
Al colocar un sistema de coordenadas en una recta vertical sobre la que se mueve un objeto, se considera
que este eje s se dirige hacia arriba (fig. 19.4) y que el nivel de la Tierra (la superficie del planeta) corresponde
a s = 0. Según la física, la aceleración a es una constante aproximadamente igual a –32 pies/s 2 . (En el sistema
métrico, esta constante es –9.8 m/s 2 .) Observe que la aceleración es negativa porque la fuerza de la gravedad de
la Tierra hace que la velocidad se reduzca.
Como d v = a = −32 se tiene que:
dt
(19.1) v = v 0 – 32t
ds
donde v 0 es la velocidad inicial cuando t = 0. * Ahora, v = , por lo tanto,
dt
(19.2) s = s 0 + v 0 t – 16t 2
donde s 0 es la posición inicial, el valor de s cuando t = 0. **
s
Tierra
0
Fig. 19.4
*
De hecho, D t (v 0 – 32t) = –32 = D t v. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, v y v 0 – 32t difieren por una constante. Como
v y v 0 – 32t son iguales cuando t = 0, tal diferencia constante es 0.
**
En efecto, D t (s 0 + v 0 t – 16t 2 ) = v 0 – 32t = D t s. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, s y s 0 + v 0 t – 16t 2 difieren por una
constante. Como s y s 0 + v 0 t – 16t 2 son iguales cuando t = 0, esa diferencia constante es 0.