Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
i j
x y (53.18)
f
En el análisis vectorial, i j
f
se denomina gradiente de f o grad f. De (53.17) deducimos que la
x y componente de f en la dirección de un vector unitario a es la derivada direccional de f en la dirección de a.
Sea r = xi + yj el vector de posición de P(x, y). Como
y
df
ds
f
= ∂ ∂x
dx
ds
.
dr
=∇f
ds
df
ds
f
+ ∂ ∂y
dy
ds
= |f | cos
⎛ ∂f
f
= i j
∂ x
+ ∂ ⎞
⎝
⎜ ∂y⎠
⎟ . ⎛ dx y
i + j
∂ ⎞
⎝
⎜ ds ∂s
⎠
⎟
donde f es el ángulo entre los vectores f y dr
df
, se desprende que es máximo cuando cos f = 1, es decir,
ds ds
cuando f y dr tienen la misma dirección. Así, el valor máximo de la derivada direccional en P es |f | y su
ds
dirección es la de f. (Compárese con el análisis sobre derivadas direccionales máximas en el capítulo 52.)
(Véase el problema 4.)
Para w = F(x, y, z), se define
F
Fi j k
F
F
x y z
Y la derivada direccional de F(x, y, z) en un punto arbitrario P(x, y, z) en la dirección a = a 1 i + a 2 j + a 2 k es
dF
ds
Fa (53.19)
Como en el caso de funciones de dos variables, |F| es el valor máximo de la derivada direccional de F(x, y, z)
en P(x, y, z), y su dirección es la de F (véase el problema 5.)
Considérese ahora la superficie F(x, y, z) = 0. La ecuación del plano tangente a la superficie en uno de sus
puntos P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) está dada por
F
F F
( x
x ) ( y y ) ( z z )
x
y
0 0 0
z
[( x x ) y
y ) ( z z ) ] F
F
x y
0
i
0
j
0
k .
+( i j k F
z
0 (53.20)
en el entendido que las derivadas parciales se evalúan en P 0 . El primer factor es un vector arbitrario que pasa
por P 0 en el plano tangente; por tanto, el segundo factor F, evaluado en P 0 , es normal al plano tangente, es
decir, es normal a la superficie en P 0 (véase los problemas 6 y 7)
Divergencia y rotacional
La divergencia de una función vectorial F = if 1 (x, y, z) + jf 2 (x, y, z) + kf 3 (x, y, z), a veces denominada del dot,
está definida por
div F F = x f y f z f
(53.21)
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