Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Series de Taylor y de Maclaurin.
Fórmula de Taylor con residuo
Series de Taylor y de Maclaurin
Sea f una función infinitamente derivable en x = c, es decir, las derivadas f (n) (c) existen para todo entero positivo
n.
La serie de Taylor para f en torno a c es la serie de potencias
n
0 1 2
n0
n
2
a ( xc) a a ( xc) a ( xc)
n
f 0
donde an
= ( ) ()
para todo n. Observe que f
n!
(0) se toma como la función f en sí, de modo que a 0 = f(c).
La serie de Maclaurin para f es la serie de Taylor para f en torno a 0, es decir, la serie de potencias
donde a
n
n
f
= ( ) ( 0)
para todo n.
n!
EJEMPLO 47.1. La serie de Maclaurin para sen x.
Sea f(x) = sen x. Entonces
+∞
∑ n 0 1 2
n=
0
n
2
ax = a + ax+ ax +⋅⋅⋅
f(x) = cos x,
f(x) = –sen x
f(x) = –cos x
Como f (4) (x) = sen x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. Como sen 0 = 0 y cos 0 = 1,
f (2k) (0) = 0 y f (2k+1) (0) = (–1) k . Por tanto, a 2k = 0 y a = k
( 1)
2k+ 1
. Entonces, la serie de Maclaurin para sen x es
( 2k
−+ 1)!
k0
k
( 1)
3 5 7
2k1
x x x
x
x
( 2k
1)! 3! 5! 7!
Una aplicación del criterio de la razón muestra que esta serie converge para todo x. No se sabe que sen x sea igual
a su serie de Maclaurin. Lo demostraremos más adelante.
EJEMPLO 47.2.
Halle la serie de Maclaurin para f ( x)= 1
.
1 − x
f( x)
1
f
x
f
x
( x) , ( ) 2
( x) , ( ) 3 2
2 3
1
1
( 1 x) , 4
f
4
( x)
f x
( x) , 5
432
( ) 5
5 4 3 2
6
1
( 1 x)
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