Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Un conjunto de números direccionales para la recta normal a F(x, y, z) = 0 es [l 1 , m 1 , n 1 ] = [1, –1, 1]. En el
mismo punto,
G
5, G
1, G
6z
6
x
y
z
Un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 es [l 2 , m 2 , n 2 ] = [–5, 1, 6].
Como l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 1(–5) + (–1)1 + 1(6) = 0, estas direcciones son perpendiculares.
9. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = 3x 2 + 4y 2 + 8z 2 – 36 = 0 y G(x, y, z) = x 2 + 2y 2 – 4z 2 – 6 = 0 se cortan
en el ángulo recto.
En cualquier punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) sobre las dos superficies
F
, ,
6x
F
8y
F
x y z
16z
0 0
y
0; por tanto, [3x 0 ,
4y 0 , 8z 0 ] es un conjunto de números direccionales para la normal a la superficie F(x, y, z) = 0 en P 0 . De igual
forma, [x 0 , 2y 0 , –4z 0 ] es un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 en P 0 .
Ahora, como
2 2 2 2 2 2
6( x + 2y −4z ) − ( 3x + 4y + 8z
) = 6( 6)
− 36= 0,
0
0
0
0
0
0
CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en el espacio
estas direcciones son perpendiculares.
10. Deduzca (51.7) y (51.8) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio C: F(x, y, z) = 0, G(x,
y, z) = 0 en uno de sus puntos P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ).
En P 0 , las direcciones
F
F
F
, ,
G
y ,
G
,
G
son normales, respectivamente, a los planos
x
y
z
x
y
z
tangentes de las superficies F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Como la dirección
F / y F / z
,
G / y G / z
F / z F / x
,
G / z G
/ x
F
/ x
F
/ y
G
/ x
G
/ y
es perpendicular a cada una de estas direcciones, es la de la recta tangente a C en P 0 . Por tanto, las ecuaciones
de la recta tangente son
y la ecuación del plano normal es
x
x
F / y F / z
G / y G / z
y
y
F / z F / x
G
/ z G / x
0 0
z
z0
F / x F / y
G / x G / y
F / y F / z
G y G z x x F / z F / x
(
0)
/ /
G
/ z
G x y y F / x F / y
( ) (
/
G / x G / y z z )
0 0
0
11. Halle las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x 2 + y 2 + z 2 = 14, x + y + z = 6 en el
punto (1, 2, 3).
Sean F(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 – 14 = 0 y G(x, y, z) = x + y + z – 6 = 0. En (1, 2, 3),
F / y F / z
G y G z
2y
2z
/ /
4 6
1 1 1 1
2
F / z F
/ x
6 2
F / x F / y
4,
G / z G / x 1 1 G / x G / y
2 4
2
1 1
Con [1, –2, 1] como un conjunto de números direccionales de la tangente, sus ecuaciones son
x − 1 y − 2 = =
z − 3
. La ecuación del plano normal es (x – 1) – 2(y – 2) + (z – 3) = x – 2y + z = 0.
1 −2
1