Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La derivada direccional en un punto P es una función de . Más adelante se verá que existe una dirección,
determinada por un vector denominado gradiente de f en P (véase el capítulo 53), para el cual la derivada
direccional en P tiene un valor máximo. Ese valor máximo es la pendiente de la tangente más inclinada que
pueda trazarse a la superficie en P.
Para una función w = F(x, y, z), la derivada direccional en P(x, y, z) en la dirección determinada por los
ángulos , , está dada por
dF
ds
F F F
= ∂ cosα + ∂ cos β + ∂ cosγ
∂x
∂y
∂z
Por la dirección determinada por , y se entiende la dirección del vector (cos )i + (cos )j + (cos )k.
Valores máximos y mínimos relativos
Supóngase que z = f(x, y) tiene un valor máximo (o mínimo) relativo en P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Todo plano que pasa por
P 0 perpendicular al plano xy cortará la superficie en una curva que tenga un punto máximo (o mínimo) relativo
f
en P 0 . Así, la derivada direcciona cos
f
sen
de z = f(x, y) debe ser igual a cero en P
x
y
0 . En particular,
cuando = 0, sen = 0 y cos = 1, de manera que f
x 0. Cuando , sen = 1 y cos = 0, de modo que
2
f
0. Por tanto, se llega al teorema siguiente.
y Teorema 52.1. Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) y f
x y f
y existe en (x 0, y 0 ), entonces f
x 0
y f
y 0 en (x 0, y 0 ).
Vale la pena mencionar, sin la demostración correspondiente, las siguientes condiciones suficientes para la existencia
de un máximo o mínimo relativos.
CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
Teorema 52.2. Sea z = f(x, y) que tiene primera y segunda derivada en un conjunto abierto incluido un punto (x 0 ,
y 0 ) en el cual f
x = 0 y f
= 0. Se define
2
2
y
2 2
f f f
2
2
x y x y
. Supóngase que < 0 en (x 0 , y 0 ). Entonces:
⎧
un mínimo relativo en (x0, y0)
z = f(x, y) tiene ⎪
⎨
⎪un máximo relativo en ( x0, y0)
⎩⎪
Si > 0, no hay un máximo ni un mínimo relativo en (x 0 , y 0 ).
Si = 0, no se tiene información.
si
si
f
+ ∂ 2
2
> 0
∂x
∂y
2
∂
+ ∂ 2
f f
2 2
< 0
∂x
∂y
2
∂ f
2
Valores máximos y mínimos absolutos
Sea A un conjunto de puntos en el plano xy. Se dice que A está acotado si A está incluida en algún disco. Por
complemento de A en el plano xy se entiende el conjunto de todos los puntos en el plano xy que no está en A.
Se dice que A es cerrado si el complemento de A es un conjunto abierto.
EJEMPLO 52.1.
Los siguientes son ejemplos de conjuntos cerrados y acotados.
a) Todo disco cerrado D, es decir, el conjunto de todos los puntos cuya distancia al punto fijo sea menor o igual
que algún número r fijo positivo. (Nótese que el complemento de D es abierto porque cualquier punto que no
esté en D puede ser rodeado por un disco abierto que no tenga puntos en D.)
b) El interior y el límite de todo rectángulo. Más generalmente, el interior y el límite de toda “curva simple cerrada”,
es decir, una curva que no se interseque a sí misma salvo en sus puntos inicial y terminal.