Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Gráfica de y = sec x
Como sec x = 1/(cos x), la gráfica tendrá una asíntota vertical x = x 0 para todo x 0 tal que cos x 0 = 0, es decir, para
x = (2n + 1)/2, donde n es cualquier entero. Igual que cos x, sec x tiene un periodo de 2, y se puede centrar
la atención en (–, ). Nótese que sec x 1, como cos x 1. Al ser D x (sec x) = tan x sec x = 0, se hallan los
números críticos en x = 0 y x = , y el criterio de la primera derivada establece que existe un mínimo relativo
en x = 0 y un máximo relativo en x = .
Como
D 2
(sec x) = D (tan xsec x) = tan x(tan xsec x) + sec x(
sec 2 x) = sec x(tan 2 x+
sec 2 x)
x
x
no hay puntos de inflexión y la curva es cóncava hacia arriba para –/2 < x < /2. La gráfica se muestra en la
figura 17.8.
y
2
1
CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonométricas
3
2
2
O
–1
2
3
2
x
–2
Fig. 17.8
Ángulos entre curvas
Por el ángulo de inclinación de una recta no vertical L se entiende el ángulo más pequeño que se forma en
sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo a la recta (fig. 17.9). Si m es la pendiente
de L, entonces m = tan . [Se comprueba en la figura 17.10, donde se considera que la recta L es paralela a L
y, por consiguiente, tiene la misma pendiente m.
Entonces, m = (sen – 0)/(cos – 0) = (sen )/(cos ) = tan .]
y
y
y
P(cos , sen )
x
x
(0, 0)
1
x
Fig. 17.9 Fig. 17.10
Por un ángulo entre dos curvas en un punto de intersección P se entiende el más pequeño de los dos ángulos
comprendidos entre las tangentes a las curvas en P (repase los problemas 17 y 18).