Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Diferencial total.
Diferenciabilidad.
Reglas de la cadena
Diferencial total
Sea z = f (x, y). Sean x y y números cualesquiera. x y y se denominan incrementos de x y y, respectivamente.
Para estos incrementos de x y y, el cambio correspondiente en z, que se representa como z, está
definido por
La diferencial total dz está definida por:
z = f (x + x, y + y) – f (x, y) (49.1)
z z
dz x
y
fx( xy , ) x
fy(
xy , ) y
(49.2)
x
y Nótese que si z = f (x, y) = x, entonces z
x
1 y z
y
0 y, por consiguiente, dz = x. Entonces, dx = x. De igual
forma, dy = y. Por tanto, la ecuación (49.2) se convierte en
z
dz
x dx z
= ∂ + ∂ dy = fx( x, y) dx + fy( x, y) dy
(49.3)
∂ ∂y Notación: dz también se denota df.
Estas definiciones pueden extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si u = f (x, y, z),
entonces se obtiene:
u
du
x dx u
y dy u
= ∂ + ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂z dz
= f ( x, y, z) dx + f ( x, y,z) dy+
f ( x, y, z)
dz
x
y
EJEMPLO 49.1. Sea z = x cos y – 2x 2 + 3. Entonces, z
cos y
x
4 x y z
y
– x sen y. Así, la diferencial total para
z es dz = (cos y – 4x) dx – (x sen y) dy.
En el caso de una función de una variable y = f (x), se utilizó el principio de aproximación y f '(x) x =
dy para estimar los valores de f. Sin embargo, en el caso de una función z = f (x, y) de dos variables, la función
f debe satisfacer una condición especial para hacer buenas posibles aproximaciones.
z
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