Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
26. Para cada una de las funciones z siguientes, determine z
x y z
y .
a) z = x 2 + 3xy + y 2 Respuesta:
z
2x
x
3 y; z
3x
y
2y
b) z
x y
=
2
−
2
Respuesta:
y x
c) z = sen 3x cos4y Respuesta:
d) z
=
−
y
x
tan 1( ) Respuesta:
e) x 2 – 4y 2 + 9z 2 = 36 Respuesta:
z
1 2 y z
x y x y
2 x
y
1
2 3
;
3 2
x
z
x
3cos 3x cos4y; z
y
– 4sen 3x sen4y
z
y
x x
2 y
; z
2 x
y x y
z
x
x
9 z
; z
y
4y
9z
2 2
f) z 3 – 3x 2 y + 6xyz = 0 Respuesta: z
2yx
( z) 2 ; z
x z 2xy
xx ( 2z)
2
y z 2xy
g) yz + xz + xy = 0 Respuesta: z
y z
x x y ; z
x z
y x
y
27. Para cada una de las funciones z siguientes, halle 2z
2
x , 2
z
yx , 2
z
xy y 2z
2
y .
a) z 2x 2 – 5xy + y 2 Respuesta:
2
z
x
2
4
; 2
2
z z
5 ; 2z
x y y x y
2
2
b) z
x y
=
2
−
2
y x
Respuesta: 2
z 6y
2
4
x
x ; 2 z
2 1 1
z
2
x
3 3
x y
y
c) z = sen3x cos4y Respuesta:
−
y
d) z = tan ( 1 x ) Respuesta:
xy
28. a) Si z = , demuestre que x
x − y
2
y x ;
2z
2
6x
4
y y
2
z
2
9z ;
x
2
2
z z
12cos
3x
sen4y; 2z
2
16z
x y y x
y
2
2
z z 2xy
2
2
2 2 2
x
y
( x y ) ; 2
2
2 2
z z y x
x y y x ( x y )
2
2
2
z
xy
z 2
y
z
2
2
2
0
x
xy
.
y
b) Si z e ax cos y y , demuestre que 2
2
z z
2
x
y
2
0
c) Si z e –t (sen x + cos y), demuestre que 2
2
z z
z
2 2
x
y
t .
2
d) Si z = senax senby senkt a + b 2
, demuestre que 2z
2
k
t
( ) − =
.
2
.
2
2
z z
2 2
x
y
29. Para la fórmula de los gases p +
a
2
( v b) ct, donde a, b y c son constantes, demuestre que
v
2 3
p 2a( v b) ( pa/
v ) v v
b t
3
cv
3
,
2 3
v v ( v )
( p
a/v ) v 2a( v b)
t
v
,
v
1
b p
t
p c v
t
p
2 2 2
30. Complete la representación siguiente de una demostración del teorema (48.1). Supóngase que f xy y f yx existen
y son continuas en un disco abierto. Entonces, demuestre que f xy (a, b) = f yx (a, b) en cada punto (a, b) del disco.
Sea h = (f(a + h, b + h) – f (a + h, b)) – (f(a, b + h) – f(a, b)) para h suficientemente pequeño y 0. Sea