Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 23 La integral definida. Área bajo una curva
y
y f(x)
x b
x a
a b x
Fig. 23.1
y
1 A
2 A
3 A
4 A
n A
Fig. 23.2
Se trazan los segmentos de recta vertical x = x k desde el eje x hasta la gráfica, con lo que se divide la región
en n franjas. Si k A representa el área de la franja k-ésima se obtiene
n
A = ∑ Δ k
A
k=
1
Es posible aproximar el área k A de la manera siguiente: se selecciona cualquier punto x k
* en el subintervalo
k-ésimo [x k-1 , x k ]. Se traza el segmento de recta vertical que va desde el punto x k
* sobre el eje x hasta la gráfica
(obsérvense las líneas punteadas de la figura 23.3); la longitud de este segmento es f ( x k
*)
. El rectángulo con
base k x y altura f ( x k
*)
tiene el área f ( x k
*)
kx, que es aproximadamente el área k A de la franja k-ésima. Por
tanto, el área total A bajo la curva es aproximadamente la suma
n
∑ f( xk
*) Δkx= f( x1 *) Δ1x+
f( x2 *) Δ2x+ + f( xn
*)
Δ n
x (1)
k=
1
1 x 2 x 3 x n x
x 0 x 1 x 2 x 3
x n–1 x n x
a
b